Integration durch Substitution

25.03.2017, 13:50

Nucliranian

Integration durch Substitution

Meine Frage:
Ich habe folgende Funktion zu integrieren: $\begin{eqnarray*} \displaystyle\int \dfrac{1}{x^2+4x+13}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$ . Ich habe auch schon das Ergebnis und weiß mitlerweile, dass ich hier substituieren muss, jedoch verstehe ich nicht wie man and dieser Stelle auf das u kommt womit substituiert wird.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(x+2\right)^2+9}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

nun muss man substituieren und laut Lösung geht das so: $\begin{eqnarray*} {\displaystyle\int}\dfrac{1}{\left(x+2\right)^2+9}\,\mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

u ist mit $\begin{eqnarray*} u=\dfrac{x+2}{3} \end{eqnarray*}$ beschrieben was es genau ersetzt ist mir unklar das ist auch die Frage die ich habe. Ich verstehe, dass der Term so umgeformt wird, dass ich auf $\begin{eqnarray*} {\displaystyle\int}\dfrac{1}{u^2+1}\,\mathrm{d}u \end{eqnarray*}$ vereinfache und mit $\begin{eqnarray*} tan^{-1}(u) \end{eqnarray*}$ die Teillösung habe. Aber wie komme ich auf das u? Die endgültige Lösung der eigentlichen Aufgabe lautet am Ende : $\begin{eqnarray*} =\dfrac{\arctan\left(\frac{x+2}{3}\right)}{3}+C \end{eqnarray*}$

Ich würde mich über jede Hilfe und Erläuterung freuen und möchte mich schon im Voraus bedanken. Danke smile

25.03.2017, 14:13

AndiStudent

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Zitat:

Aber wie komme ich auf das u?

Du versucht so zu substituieren, dass du das daraus neu entstehende Integral einfach berechnen kannst.
$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x+2)^2+9} dx =\frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{(x+2)}{3}^2+1} dx \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u= \frac{x+2}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} du= \frac{1}{3}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{9} \int \frac{3}{ u^2+1 } du = \frac{1}{3} arctan(u) +C \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du wieder zurücksubstituieren. Dein u war ja (x+2)/3, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} arctan( \frac{x+2}{3}) +C \end{eqnarray*}$

26.03.2017, 12:02

Nucliranian

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Vorab schon mal Danke für die Mühe. Aber leider hab ich nihct verstanden wie du die 1/9 raus multipliziert hast und damit sozusagen u defniert hast. Kannst du mir vielleicht diesen Schritt erklären wieso rechne ich bei (x+2)^2 nicht auch durch 9 sondern durch 3 ?

26.03.2017, 12:14

Mathema

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Hallo Nucliranian,

die Klammersetzung stimmt bei AndiStudent nicht, die Klammern müssen um den gesamten Bruch, d.h. der Exponent bezieht sich auch auf den Nenner. Ausführlich:

$\begin{eqnarray*} (x+2)^2=\left(3\cdot\frac{x+2}{3}\right)^2=3^2\left(\frac{x+2}{3}\right)^2=9\left(\frac{x+2}{3}\right)^2 \end{eqnarray*}$

26.03.2017, 12:24

Nucliranian

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Das heißt also ich klammere 3^2 aus somit hab ich auch die 9 auf 1 gekürzt, oder ? Big Laugh

hab ich das richtig verstanden ?
Vielen Dank euch beiden für die Hilfe smile

26.03.2017, 12:25

AndiStudent

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Zitat:

Original von Nucliranian
Aber leider hab ich nihct verstanden wie du die 1/9 raus multipliziert hast und damit sozusagen u defniert hast. Kannst du mir vielleicht diesen Schritt erklären wieso rechne ich bei (x+2)^2 nicht auch durch 9 sondern durch 3 ?

Ich habe versucht durch Ausklammern von 1/9 das Integral so umzuschreiben, dass ich auf ein einfaches Integral komme:

$\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x+2)^2+9} dx = \frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{(x+2)^2}{9}+1}= \frac{1}{9} \int \frac{1}{\frac{(x+2)^2}{3^2}+1}= \frac{1}{9} \int \frac{1}{(\frac{x+2}{3})^2+1} dx \end{eqnarray*}$

Ich hoffe, man sieht es besser smile

@Mathema : Stimmt. Die Klammer ist mir verrutscht.

26.03.2017, 12:27

Nucliranian

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Vielen dank nochmal ich denke ich habe es jetzt verstanden smile

26.03.2017, 12:37

Mathema

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@AndiStudent: Ja - ich ging auch nur von einem Schreibfehler aus, der ja schnell mal passieren kann, wenn man mit Latex schreibt. Sorry übrigens, ich habe nicht gesehen, dass du online bist.

Schönen Sonntag euch beiden!

Wink

26.03.2017, 13:01

AndiStudent

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@Mathema: Kein Problem smile

Ich Wünsche euch auch einen schönen Sonntag Big Laugh

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