Verlauf eines Ausgangssignals

25.03.2017, 14:52

Rivago

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Verlauf eines Ausgangssignals

Wink

Das Eingangssignal eines I-Regelkreises mit $\begin{eqnarray*} K_I = 1,5 \end{eqnarray*}$ sei durch den gekennzeichneten Signalverlauf gegeben.

Berechnen und zeichnen Sie den Verlauf des Ausgangssignals. Achten Sie darauf, dass Sie stetige Übergänge, Sprünge und Knicke eindeutig kennzeichnen.

Also, ein I-Glied hat die Differentialgleichung $\begin{eqnarray*} x_a (t) = K_I \int x_e(t) dt \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand helfen? Weiß nicht so richtig wie man dabei vorgeht verwirrt

verwirrt

25.03.2017, 16:50

Dopap

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Integration glättet bekantlich. Aus Sprungstellen werden stetige Stellen, aus Knicken = nicht diffbar werden glatte Übergänge.

Die nächste Funktion ist $\begin{align*} F_3(x)=\begin{cases}3 +1.5 \int_\limits 3^\limits x \, \frac {1-(-2)}{6-3}\,(t-5)\, \dd t & 3 \leq x \leq 6 \\ 0 & sonst \end {cases} \end{align*}$

Die dünne Linie ist vom Ansatz her richtig und hat bei x=5 eine Nullstelle weil die vorige Rechtecksfläche gleich der Dreiecksfläche ist. Salopp gesagt.
ab x=5 ist die Fläche wieder positiv. Welche Art von Nullstelle der Integralfunktion liegt dann bei x=5 vor?
Nicht rechnen , Logisch entscheiden!

Das hatten wir schon vor längerer Zeit mit Beschleunigung von t und daraus folgte Geschwindigkeit von t.
Du erinnerst dich ? Wink

Wink

25.03.2017, 18:37

Rivago

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Zitat:

Original von Dopap

Die nächste Funktion ist $\begin{align*} F_3(x)=\begin{cases}3 +1.5 \int_\limits 3^\limits x \, \frac {1-(-2)}{6-3}\,(t-5)\, \dd t & 3 \leq x \leq 6 \\ 0 & sonst \end {cases} \end{align*}$

Wie kommst du denn darauf? verwirrt

verwirrt

25.03.2017, 19:05

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago

Wie kommst du denn darauf? verwirrt

verwirrt

oh! mann

geschockt

3 ist der letzte y Wert, der Bruch ist das Steigungsdreieck=1 , t-5 ist die Rechtsverschiebung der Strecke (Geraden)

Das ist doch elementares Zeugs.

25.03.2017, 19:47

Rivago

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verwirrt

Wie würde das denn für den ersten Bereich aussehen?

Und das mit t-5 habe ich leider noch nicht verstanden unglücklich

unglücklich

25.03.2017, 21:02

Dopap

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wenn du von einer Geraden die Nullstelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und die Steigung $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ kennst, dann ist $\begin{eqnarray*} f(x):= m(x-x_0 \end{eqnarray*}$

Das ist die Taylorentwicklung einer linearen Funktion erster Ordnung zum Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ klar?

$\begin{eqnarray*} F_1(x) \end{eqnarray*}$ ist trivial

$\begin{eqnarray*} F_2(x):=0 + 1.5\int_1^x\, 1 \, \dd t = 1.5(x-1),\quad 1\leq x \leq 3 \end{eqnarray*}$

es sind oft die "kleinen" Sachen die Probleme machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

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25.03.2017, 21:39

Rivago

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Nein, versteh ich ehrlich gesagt nicht..

25.03.2017, 22:00

Dopap

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$\begin{eqnarray*} y=mx +c \end{eqnarray*}$ ist doch normal und hat den y-Achsenabschnitt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$

wenn man $\begin{eqnarray*} y=mx+c=m(x+\tfrac cm) \end{eqnarray*}$ schreibt , dann ist $\begin{eqnarray*} -\tfrac cm \end{eqnarray*}$ Nullstelle und zugleich x-Achsenabschnitt.

oder: man hat eine Geradenrelation $\begin{eqnarray*} Ax+By=C \end{eqnarray*}$ woraus $\begin{eqnarray*} \frac {x}{\frac CA}+\frac {y}{\tfrac CB}=1 \end{eqnarray*}$ folgt.
Die Nenner sind die Achsenabschnitte ----> Achsenabschnittsform.

oder meintest du $\begin{eqnarray*} F_2(x) \end{eqnarray*}$ ?

25.03.2017, 22:24

Rivago

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Mir fehlt allgemein das Verständnis, was ich hier eigentlich machen soll und wie man vorgeht.

25.03.2017, 23:15

Dopap

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was du machen sollst ?

Du sollst die gegebene Funktion mit dem Streckungsfaktor 1.5 integrieren.
Das geht bei einer solchen in 7 teildefinierten Intervallen natürlich nicht hoppla Hopp.
Immerhin liegen 3 Intervalle mit f(x)=0 vor.
Das nächste Intervall hat ja wieder f(x)=1.
Wie ein solches Intervall zu behandeln ist, habe ich mehrfach gezeigt. Jammere nicht herum
unglücklich

unglücklich

25.03.2017, 23:42

Rivago

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Ist der 4. Intervall dann so richtig?

$\begin{eqnarray*} F_4(x) = 1 + 1,5 \int_6^t 1 dt = 1 + 1,5(t-6) \end{eqnarray*}$

26.03.2017, 00:25

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
Ist der 4. Intervall dann so richtig?

$\begin{eqnarray*} F_4(x) = {\color{blue}1} + 1,5 \int_6^{\color{red}x} 1 dt = {\color{blue}1} + 1,5({\color{red}x}-6) \end{eqnarray*}$

x statt t. Beinahe richtig. Nur ist der letzte Funktionswert der Integralfunktion zu nehmen und nicht der blaue des Integranden, denn sonst wird die unstetig ! Also:

$\begin{eqnarray*} F_4(x)&=&F_3(6)+ 1,5 \int_6^{\color{red}x} 1 \,\dd t \\ F_4(x)&=&0.75 + 1,5({\color{red}x}-6) ,\quad 6\leq x \leq 7 \end{eqnarray*}$

zugegebenermaßen ist das eine penible Sache. Als Physiker sollte man damit aber klarkommen.
Stell dir vor f(t)= a(t). Für s(t) dürftest du das ganze nochmal integrieren geschockt

geschockt

26.03.2017, 01:13

Dopap

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und weil es du bist hier noch $\begin{eqnarray*} F_3(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F_4(x) \end{eqnarray*}$

die "treffen" sich knickfrei bei (6,0.75). Wenn du die Grafik besser hinkriegst gebe ich Einen aus Big Laugh

Big Laugh

26.03.2017, 10:22

Rivago

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Zitat:

Original von Dopap

Zitat:

Original von Rivago
Ist der 4. Intervall dann so richtig?

$\begin{eqnarray*} F_4(x) = {\color{blue}1} + 1,5 \int_6^{\color{red}x} 1 dt = {\color{blue}1} + 1,5({\color{red}x}-6) \end{eqnarray*}$

x statt t. Beinahe richtig. Nur ist der letzte Funktionswert der Integralfunktion zu nehmen und nicht der blaue des Integranden, denn sonst wird die unstetig ! Also:

$\begin{eqnarray*} F_4(x)&=&F_3(6)+ 1,5 \int_6^{\color{red}x} 1 \,\dd t \\ F_4(x)&=&0.75 + 1,5({\color{red}x}-6) ,\quad 6\leq x \leq 7 \end{eqnarray*}$

zugegebenermaßen ist das eine penible Sache. Als Physiker sollte man damit aber klarkommen.
Stell dir vor f(t)= a(t). Für s(t) dürftest du das ganze nochmal integrieren geschockt

geschockt

Oh man, ich kann nicht mal mehr integrieren verwirrt

verwirrt

unglücklich

Hammer

Wieso denn x statt t? Auf der y-Achse ist x aufgetragen, und auf der x-Achse ist t aufgetragen.

26.03.2017, 15:09

Dopap

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von Anfang an habe ich das mit üblichen Bezeichnern der Mathematik behandelt. Es steht dir frei die Funktionen und die Variablen umzubenennen.

26.03.2017, 15:37

Rivago

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Ach ich verstehs nicht.. traurig

traurig

Lassen wir es gut sein, Danke!

26.03.2017, 18:56

Rivago

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Ist es so richtig?

Von 3 bis 6 parabelförmiger Verlauf, bei $\begin{eqnarray*} t = 6 \rightarrow x = 0,75 \end{eqnarray*}$

Dann von 6 bis 7 linearer Verlauf, bei $\begin{eqnarray*} t = 7 \rightarrow x = 2,25 \end{eqnarray*}$

Dann ein Stück einfach horizontal bis t = 8

Und von 8 bis 9 wieder parabelförmiger Verlauf, bei $\begin{eqnarray*} t = 9 \rightarrow x = 1,50 \end{eqnarray*}$

Und der Rest dann wieder horizontal.

Falls richtig, war es das dann? Oder muss ich jetzt noch einen vertikalen Strich nach unten machen, damit die Fläche geschlossen ist?

26.03.2017, 20:00

Dopap

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jetzt also wieder mit x und t als Zeit.

bis t=7 war es schon fertig. Der Rest stimmt dann soweit.
Ein senkrechter Strich passt nicht zu einer Funktion. ---> ( Injektiv )

Bem: das Eingangssignal hat in reality keinen senkrechten Strich sondern einen blitzschnellen steilen Anstieg. ---> Rechtecksignal

26.03.2017, 20:20

Rivago

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Okay, danke Freude

Freude

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