Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz

25.03.2017, 16:47	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz Meine Frage: Hi, ich bereite mich gerade auf die kommende Analysis Nachklausur vor, aber verstehe gerade den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz nicht. Wie ich das jetzt verstanden habe, muss bei der punktweisen Konvergenz $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } f_{n}(x) \end{eqnarray}$ für alle x im Definitionsbereich, den selben Wert erhalten. Bei der gleichmäßigen Konvergenz muss $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \sup_{x \in D_{f}} \|f_{n}(x) - f(x)\| = 0 \end{eqnarray}$ für alle x im Definitionsbereich gelten. Aber ist dies nicht auch genau dann der Fall, wenn für $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} f_{n}(x) \end{eqnarray}$ immer den gleichen Wert erhält? Es wäre echt nett, wenn mir jemand den Unterschied erklären könnte.
25.03.2017, 17:41	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir ein einfaches und bekanntes Beispiel: $\begin{align} f_n(x) = x^n \end{align}$ mit $\begin{align} x \in I = \left( 0 \, ; 1 \right) \end{align}$ Offenbar gilt: $\begin{align} \lim_{n \to \infty} f_n(x) = 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} x \in I \end{align}$ Für $\begin{align} \varepsilon> 0 \end{align}$ kann man nun $\begin{align} \left\| f_n(x) \right\| < \varepsilon \end{align}$ machen, wenn nur $\begin{align} n \end{align}$ genügend groß ist. Nehmen wir beispielsweise $\begin{align} \varepsilon = 0{,}001 \end{align}$ und untersuchen wir, ab welchem $\begin{align} n \end{align}$ dies der Fall ist. Zu lösen ist die Ungleichung $\begin{align} x^n < 0{,}001 \end{align}$ Das ist der Fall für alle ganzzahligen $\begin{align} n \end{align}$ mit $\begin{align} n > \frac{\ln 0{,}001}{\ln x} \end{align}$ Für $\begin{align} x = 0{,}1 \end{align}$ muß man $\begin{align} n \geq 4 \end{align}$ nehmen. Für $\begin{align} x = 0{,}6 \end{align}$ muß man $\begin{align} n \geq 14 \end{align}$ nehmen. Für $\begin{align} x = 0{,}9 \end{align}$ muß man $\begin{align} n \geq 66 \end{align}$ nehmen. Für $\begin{align} x = 0{,}995 \end{align}$ muß man $\begin{align} n \geq 1379 \end{align}$ nehmen. Für $\begin{align} x = 0{,}999999 \end{align}$ muß man $\begin{align} n \geq 6907752 \end{align}$ nehmen. Man kann also sehr wohl für jedes $\begin{align} x \in I \end{align}$ den Ausdruck $\begin{align} x^n \end{align}$ schließlich $\begin{align} < 0{,}001 \end{align}$ machen, muß aber, je näher man mit $\begin{align} x \end{align}$ an $\begin{align} 1 \end{align}$ herankommt, immer größere $\begin{align} n \end{align}$ dafür nehmen. Die Funktionenfolge ist daher nicht gleichmäßig konvergent. Jetzt betrachte dieselben $\begin{align} f_n \end{align}$ für $\begin{align} x \in J = \left( 0 \, ; 0{,}7 \right) \end{align}$ und überlege, warum die Folge jetzt gleichmäßig konvergiert. Gib ein $\begin{align} n_0 \end{align}$ an, so daß der Ausdruck $\begin{align} x^n \end{align}$ beispielhaft kleiner als $\begin{align} 0{,}001 \end{align}$ wird für alle $\begin{align} n \geq n_0 \end{align}$ und alle $\begin{align} x \in J \end{align}$ .
25.03.2017, 17:50	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Leopold, mir erschließt sich der Unterschied deiner beiden Beispiele gerade nicht ganz. $\begin{eqnarray} n_{0} \end{eqnarray}$ muss in deinem zweiten Beispiel ca.19 sein. Aber hier ist es doch genauso, dass je näher man an 0,7 rankommt, man umso größere n nehmen muss. Warum ist die Folge dann jetzt gleichmäßig konvergent?
25.03.2017, 17:57	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber das Mindest- $\begin{align} n \end{align}$ wächst nicht über alle Grenzen. Für $\begin{align} n \geq 20 \end{align}$ gilt $\begin{align} x^n < 0{,}001 \ \ \mbox{für alle} \ x \in J \end{align}$ egal, ob du $\begin{align} x = 0{,}1 \end{align}$ oder $\begin{align} x = 0{,}699 \end{align}$ nimmst. Versuch einmal, in meinem ersten Beispiel, das Mindest- $\begin{align} n \end{align}$ unabhängig von $\begin{align} x \end{align}$ zu bestimmen. Es wird dir nicht gelingen.
25.03.2017, 18:02	Connor	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah ok, hab das jetzt verstanden. Und wie sieht es jetzt mit punktweiser Konvergenz aus? Ist dann dein erstes Beispiel nicht punktweise Konvergent, und dein zweites schon? Und wenn ja, was genau wäre denn dann jetzt der Unterschied?
25.03.2017, 20:35	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Punktweise Konvergenz bedeutet einfach, wenn ich es einmal drastisch sagen darf, "stinknormale" Konvergenz. "Punktweise" steht "für jedes x". So ist die Folge $\begin{align} \left( x^n \right)_{n \in \mathbb{N}} \end{align}$ für jedes $\begin{align} x \in I = \left( 0 \, ; 1 \right) \end{align}$ konvergent, also punktweise konvergent in $\begin{align} I \end{align}$ . Daß sie in $\begin{align} I \end{align}$ nicht gleichmäßig konvergiert, haben wir schon behandelt. Schränkt man die Folge zum Beispiel auf $\begin{align} x \in J = \left( 0 \, ; 0{,}7 \right) \end{align}$ ein, dann ist sie in $\begin{align} J \end{align}$ gleichmäßig konvergent. Punktweise konvergent ist sie natürlich immer noch, denn wir haben ja nur $\begin{align} I \end{align}$ auf $\begin{align} J \end{align}$ verkleinert. Das Beispiel zeigt, daß es für die gleichmäßige Konvergenz wesentlich auf den Definitionsbereich der Funktionenfolge ankommt. In $\begin{align} J \end{align}$ war die Folge gleichmäßig konvergent, in $\begin{align} I \end{align}$ dagegen nicht.
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