Berechnen sie x aus Wurzelgleichung

25.03.2017, 18:44

Robinson

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Berechnen sie x aus Wurzelgleichung

Hallo!
Könnt Ihr bitte meinen Rechenweg überprüfen:
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2x+2} =\frac{12x+4}{2\cdot \sqrt{2x+2} } -\sqrt{x+2} =<br /> 4(2x+2)=12x+4-\sqrt{x+2} =<br /> 8x+8=12x+4-\sqrt{x+2} =<br /> 0=4x-4-\sqrt{x+2}=<br /> \sqrt{x+2}=4x-4=<br /> (\sqrt{x+2}) ^{2}=(4x-4)^{2}=<br /> x+2=16x^{2}-32x+16=<br /> 0=16x^{2}-33x+14 <br /> x_{1,2}=-\frac{(-33)}{2}\pm \sqrt{(\frac{33}{2} )^{2} } -14 =<br /> x1=32,57<br /> x2=0,43<br /> \end{eqnarray*}$

25.03.2017, 18:51

AndiStudent

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RE: Berechnen sie x aus Wurzelgleichung
Die 2. Zeile ist leider falsch. Wenn du mit dem Nenner muliplizierst, musst du auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$ damit multiplizieren.

25.03.2017, 20:09

Dopap

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Eine Lösung gibt es und zwar ganzzahlig und einstellig. Vergesse nicht bei mehr "Lösungen" die Probe zu machen !!
Warum ?

25.03.2017, 22:34

willyengland

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Ich hab 7 raus. smile

smile

25.03.2017, 23:17

Dopap

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Da wird Robinson aber froh sein Tanzen

Tanzen

26.03.2017, 15:48

Robinson

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Hallo Leute!
Danke schon mal für die Antworten!

Ich hab noch einen Versuch gestartet:
$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2x+2} =\frac{12x+4}{2\sqrt{2x+2} } -\sqrt{x+2} = <br /> (2\cdot \sqrt{2x+2} )\cdot (2\sqrt{2x+2})= 12x+4-\sqrt{x+2} \cdot 2\sqrt{2x+2} = <br /> 4\cdot (2x+2)=12x+4-\sqrt{x+2}\cdot 2\sqrt{2x+2}=<br /> 8x+8-12x-4=-\sqrt{x+2}\cdot 2\sqrt{2x+2}=<br /> \sqrt{x+2}\cdot 2 \cdot \sqrt{2x+2} = 4x-4 \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich nicht weiter, wie kann ich denn mit den beiden Wurzelausdrücken auf der linken Seite weiterrechnen.

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26.03.2017, 16:03

G260317

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{a} *\sqrt{b} = \sqrt{a*b} \end{eqnarray*}$

Teile vorher die GL durch 2, dann beide Seiten quadrieren.

26.03.2017, 16:35

Robinson

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}\cdot \sqrt{2x+2}= 2x-2=<br /> (\sqrt{x+2}\cdot \sqrt{2x+2}^{2}=(2x-2)^{2}=<br /> (x+2)\cdot (2x+2)=4x^{2}-4 =<br /> 2x^{2}+2x+4x+4=4x^{2}-4=<br /> 2x^{2}+2x+4x+4-4x^{2}+4=0<br /> -2x^{2}+6x+8=0<br /> <br /> x1,2=-3\pm \sqrt{1} <br /> <br /> x1=2<br /> x2=-4 <br /> \end{eqnarray*}$

Ich hab so das Gefühl, dass das nicht so richtig ist.

26.03.2017, 17:24

AndiStudent

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Zitat:

Original von Robinson
$\begin{eqnarray*} \sqrt{x+2}\cdot \sqrt{2x+2}= 2x-2=<br /> (\sqrt{x+2}\cdot \sqrt{2x+2}^{2}=(2x-2)^{2}=<br /> (x+2)\cdot (2x+2)=4x^2-4 \end{eqnarray*}$

Ich hab so das Gefühl, dass das nicht so richtig ist.

Der Übergang von Zeile 2 auf 3 ist falsch. $\begin{eqnarray*} (2x-2)^2= 4x^2 - 8x +4 \end{eqnarray*}$

26.03.2017, 18:04

Robinson

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Stimmt, da steckt ja ein Binom!

26.03.2017, 18:26

Robinson

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$\begin{eqnarray*} 2x^{2} +2x+4x+4=4x^{2}-8x+4=<br /> 2x^{2}+2x+4x+4-4x^{2}+8x-4=0<br /> -2x^{2}+14x<br /> <br /> x1,2= -7\pm \sqrt{49} <br /> x1=0 <br /> x2= -14 \end{eqnarray*}$

Ich glaub ich habe immer noch nicht raus, willyengland hat ja 7 raus traurig

traurig

26.03.2017, 19:23

Mathema

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Das ist nun das dritte Mal hier, dass du die pq-Formel benutzt, obwohl der Koeffizient vor dem $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ nicht 1 ist. Forum Kloppe

Forum Kloppe

Und deine Notation geht überhaupt nicht - gewöhne dir das Gleichheitszeichen am Ende einer Zeile schnell wieder ab. So sieht es nach einer Gleichungskette aus, und das ist falsch!

Die letzte Gleichung löst man übrigens durch Umwandlung in eine Produktgleichung.

Ob deine Umformungen stimmen weiß ich nicht, das habe ich nicht geprüft.

26.03.2017, 19:28

Robinson

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Danke für die Hinweise, werd ich zukünftig beachten!

26.03.2017, 19:33

Mathema

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Gerne - zu deiner Verteidigung möchte ich mal anbringen, dass man dich auch vorher hätte darauf hinweisen können. smile

smile

Ist damit die weitere Rechnung klar?

26.03.2017, 19:42

Robinson

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$\begin{eqnarray*} -2x^{2}+14x=0<br /> x^{2}-7=0<br /> <br /> x1,2= -3,5 \pm \sqrt{12,25} <br /> <br /> x1=0<br /> x2=-7 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe ich komme langsam auf den richtigen Weg! Danke für eure Geduld!

26.03.2017, 19:48

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} -2x^{2}+14x=0<br /> x^{2}-7\textcolor{red}{x}=0<br /> <br /> x1,2= \textcolor{red}{-}3,5 \pm \sqrt{12,25} <br /> <br /> x1=0<br /> x2=-7 \end{eqnarray*}$

Ein x vergessen - und das Minuszeichen stimmt natürlich nicht. Den Fehler hast du übrigens bei deinen ersten 3 Versuchen nicht gemacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Der Weg ohne pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} x^2-7x=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(x-7)=0 \end{eqnarray*}$

Der erste Faktor wird Null für $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ , der zweite Faktor für $\begin{eqnarray*} x=7 \end{eqnarray*}$ .

26.03.2017, 20:08

Dopap

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@Robinson:

Was ist nun die Lösungsmenge ?

26.03.2017, 20:50

Robinson

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$\begin{eqnarray*} -\frac{(-7)}{2} \pm \sqrt{(\frac{7}{2})^{2} } =<br /> 3,5\pm 3,5=<br /> <br /> x1=7<br /> x2=0<br /> <br /> L=(0;7) \end{eqnarray*}$

Ich glaub jetzt habe ich es! Prost

Prost

Vielen vielen Dank für die Geduld!

26.03.2017, 20:56

Mathema

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Leider nein:

Zitat:

Vergesse nicht bei mehr "Lösungen" die Probe zu machen !!
Warum ?

26.03.2017, 21:46

Robinson

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Für x1:
$\begin{eqnarray*} x^{2}-7x=0<br /> 7^{2}-7\cdot 7=0<br /> 49-7\cdot 7=0<br /> 49-49=0<br /> \end{eqnarray*}$

Für x2:
$\begin{eqnarray*} x^{2}-7x=0<br /> 0^{2}-7\cdot 0=0<br /> 0-7\cdot 0=0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß nur noch das man die Probe machen muss, um festzustellen, ob x1 oder x2 Teil der Lösung ist. Vielleicht kann mir das jemand nochmal erklären?
In meinem Fall wären dann ja sowohl x1 als auch x2 Teil der Lösung.
Da ja beide Gleichungen nach dem Einsetzen erfüllt sind.

26.03.2017, 21:50

Mathema

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Du musst die Probe mit deiner Ausgangsgleichung machen, also:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2x+2} =\frac{12x+4}{2\cdot \sqrt{2x+2} } -\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

Das liegt daran, dass Quadrieren i.A. keine Äquivalenzumformung ist. Aus $\begin{eqnarray*} -2=2 \end{eqnarray*}$ folgt durch Quadrieren z.B. $\begin{eqnarray*} 4=4 \end{eqnarray*}$ . Also setze deine beiden Lösungen noch mal in die obige Gleichung ein. Und stelle schon mal das Bier kalt - gleich ist es geschafft.

27.03.2017, 18:57

Robinson

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Okay, dann versuche ich es mal:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2x+2}=\frac{12x+4}{2\sqrt{2x+2} }-\sqrt{x+2} <br /> 2\sqrt{2\cdot 7+2}= \frac{12\cdot 7+4}{2\sqrt{2\cdot 7+4} }-\sqrt{7+2}<br /> 8= \frac{88}{8}-3 <br /> 8=11-3<br /> 8=8 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2\cdot 0+2}= \frac{12\cdot 0+4}{2\cdot \sqrt{2\cdot 0+2} }-\sqrt{0\cdot 2} <br /> 2\sqrt{2}=\frac{4}{2\sqrt{2} }-\sqrt{2} <br /> 2\sqrt{2}= \frac{2}{1\sqrt{2} }-\sqrt{2}<br /> 2\sqrt{2}= \frac{2}{\sqrt{x} \sqrt{2} }\cdot \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }-\sqrt{2} <br /> 2\sqrt{2}=\frac{2\sqrt{2} }{2}-\sqrt{2}<br /> 2\sqrt{2}= \sqrt{2}-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Ab hier komme ich irgendwie nicht weiter....

27.03.2017, 19:36

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2}= \frac{2}{\textcolor{red}{\sqrt{x}} \sqrt{2} }\cdot \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} }-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das gehört da natürlich nicht hin.

Nun ja - und $\begin{eqnarray*} \sqrt{2}-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ solltest du schon ausrechnen können.

27.03.2017, 21:56

Robinson

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Ja, Wurzel X muss da wohl reingerutscht sein.

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{2}=0 \end{eqnarray*}$

Also ist die 0 nicht Teil der Lösungsmenge, korrekt ?

Wie gebe ich das korrekt an?

27.03.2017, 22:01

Mathema

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Zitat:

Also ist die 0 nicht Teil der Lösungsmenge, korrekt ?

Freude

Zitat:

Wie gebe ich das korrekt an?

$\begin{eqnarray*} \mathrm{L}=\{7\} \end{eqnarray*}$

Na dann:

Prost

Prost

27.03.2017, 22:28

Dopap

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zur optischen Probe:

$\begin{eqnarray*} f(x)&=& 2\sqrt{2x+2} \\ g(x)&=&\frac{12x+4}{2\cdot \sqrt{2x+2} } -\sqrt{x+2} \end{eqnarray*}$

und die schneiden sich genau einmal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Was ist denn die maximale Definitionsmenge der Gleichung verwirrt

verwirrt

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