Konvergenzradius bestimmen

27.03.2017, 13:54

Urlaubsreif

Konvergenzradius bestimmen

Meine Frage:
Hallo,
ich soll den Konvergenzradius der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{2^{n} }{n}x^{n} \end{eqnarray*}$ bestimmen.
Das hat eigentlich gut geklappt. Den K.radius habe ich mit r=1/2 berechnet.
wenn ich das in meine Reihe einsetze bekomme ich für x=1/2 $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n} \frac{1 }{n} \end{eqnarray*}$
und für x=-1/2 $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^{\infty }\frac{1 }{n} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Nun wollte ich prüfen für welches x die Reihe konvergiert und wann divergiert.
Für x=1/2 Steht in der lösung steht dass (1/n) eine monoton fallende Nullfolge ist => die Reihe konvergiert nach dem Leibnitzkriterium
Für x=-1/2 Steht in der Lösung dass die Reihe divergiert.
Für mich ist eigentlich die Reihe für X=1/2 divergent, da ich ja für n=gerade positive Teilfolgen bekomme und für n=ungerade negative Teilfolgen bekomme. Kann mir das jemand erklären wieso es umgekehrt ist? smile

27.03.2017, 14:03

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius bestimmen

Zitat:

Original von Urlaubsreif
Für mich ist eigentlich die Reihe für X=1/2 divergent, da ich ja für n=gerade positive Teilfolgen bekomme und für n=ungerade negative Teilfolgen bekomme. Kann mir das jemand erklären wieso es umgekehrt ist? smile

Also daß die Reihe für x=-1/2 divergiert, sollte wohl klar sein. Und was du da mit den positiven und negativen Teilfolgen sagen willst, ist mir nicht klar. Für x=1/2 hast du eine Reihe mit alternierenden Summanden, wo sich das Leibnizkriterium anwenden läßt.

27.03.2017, 14:10

Urlaubsreif

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Hm scheinbar ist mir nicht ganz klar wieso die Reihe für x=-1/2 divergiert...

27.03.2017, 14:52

klarsoweit

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RE: Konvergenzradius bestimmen
Ja, was dachtest du denn, wie sich die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ verhält?

27.03.2017, 15:43

Urlaubsreif

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achso die Reihe geht gegen unendlich und hat damit keinen Grenzwert. Deshalb divergiert sie?
Ich habe morgen eine Klausur und bin gerade total durcheinander, entschuldigung unglücklich

27.03.2017, 15:47

Urlaubsreif

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Aber wieso konvergiert dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

27.03.2017, 15:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Urlaubsreif
achso die Reihe geht gegen unendlich und hat damit keinen Grenzwert. Deshalb divergiert sie?

Es klingt entfernt so, als meinst du das richtige, obwohl extrem holprig formuliert. Für reelle Reihen gibt es drei mögliche Szenrarien:
- Konvergenz (mit einer reellen Zahl als Reihenwert = Grenzwert der Partialsummenfolge)
- unbestimmte Divergenz
- bestimmte Divergenz mit uneigentlichem Reihenwert $\begin{align*} \infty \end{align*}$ oder $\begin{align*} -\infty \end{align*}$
Für die harmonische Reihe $\begin{align*} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \end{align*}$ trifft letzteres zu, d.h., bestimmte Divergenz gegen $\begin{align*} \infty \end{align*}$ .

Zitat:

Original von Urlaubsreif
Aber wieso konvergiert dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Das mutiert jetzt zu einer Startvorlesung über Reihen. verwirrt

27.03.2017, 16:02

klarsoweit

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Zitat:

Original von Urlaubsreif
achso die Reihe geht gegen unendlich und hat damit keinen Grenzwert. Deshalb divergiert sie?

Ja.

Zitat:

Original von Urlaubsreif
Aber wieso konvergiert dann die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2} } \end{eqnarray*}$ ?

Weil $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=2}^n \frac{1}{k \cdot (k-1)} = \sum_{k=2}^n (\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}) = 1 - \frac 1 n \end{eqnarray*}$ ist. Und offensichtlich konvergiert die rechte Grenze gegen 1. Augenzwinkern

27.03.2017, 16:08

Urlaubsreif

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Danke jetzt ist es mir wieder klar. Worüber ich mir sonst nie Gedanken gemacht habe weil es mir immer logisch erschien ist vor einer Klausur plötzlich alles verwirrend.

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