Teiler der Ordnung endlicher Gruppen stets Untergruppen?

27.03.2017, 15:56

Svea21

Teiler der Ordnung endlicher Gruppen stets Untergruppen?

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich stehe grade vor der Frage: Wenn G endliche Gruppe ist und n ein Teiler von |G| ist.
1) Existiert dann stets eine Untergruppe H mit |H|=n ?
2) Was ist wenn G zyklisch ist?

Meine Ideen:
Zu 2) da hatten wir einen Satz das zu jedem Teiler n von d=|G| genau eine Untergruppe der Ordnung n existiert, wenn $\begin{eqnarray*} G =\mathbb Z /d \mathbb Z \end{eqnarray*}$ für andere endliche Gruppen, bzw. etwas allgemeineres finde ich dazu leider nicht..

zu 1) Dabei dachte ich zuertst an Lagrange, da wenn |G| endlich, auch folgt das |H| endlich und n=|H| ist Teiler von |G|, aber für Langrange wird ja vorrausgesetzt das H Untergruppe ist, also bringt mir das wohl nichts.

Andernfalls versuchte ich eventuell ein Gegenbeispiel dafür zu finden, für $\begin{eqnarray*} G =\mathbb Z /m \mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit |G|=m, gehts schonmal nicht, da ja zu jedem Teiler n von m=|G| eine Untergruppe existiert mit |H|=n, also $\begin{eqnarray*} H=\mathbb Z /n \mathbb Z \end{eqnarray*}$ .
Genauso gings bei den Symetrischen Gruppen, sei $\begin{eqnarray*} G=S_{n} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |S_{n}|=n! \end{eqnarray*}$ nicht, diese haben auch immer eine Untergruppe H der Odnung n, welcher Teiler von |G| ist.
Deshalb denke ich das 1) stimmt, aber weiß nicht wie ich das allgemein beweisen kann :/

Würde mich sehr über jegliche Hilfe freuen! smile

27.03.2017, 16:21

HAL 9000

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Gruppe $\begin{align*} A_4 \end{align*}$ mit $\begin{align*} |A_4|=12 \end{align*}$ besitzt keine Untergruppe der Ordnung 6. Da ich nicht viel davon verstehe, weiß ich nicht, ob es noch ein "kleineres" Gegenbeispiel gibt.

27.03.2017, 16:35

IfindU

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Edit: Müll entfernt. Sorry.

27.03.2017, 16:45

Leopold

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Zitat:

Original von HAL 9000
Da ich nicht viel davon verstehe, weiß ich nicht, ob es noch ein "kleineres" Gegenbeispiel gibt.

siehe hier

27.03.2017, 16:58

Svea21

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Super, vielen Dank für den Link!
Damit hat sich 1) ja schon mal erledigt.
Aber bzgl. 2) bin ich mir noch nicht sicher, also für Gruppen derart $\begin{eqnarray*} G =\mathbb Z /d \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gilt es wieder, aber dies reicht ja nicht allgemein. In der Liste hätte ich nämlich kein Gegenbeispiel dazu gefunden...

27.03.2017, 17:26

IfindU

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Damit ich auch etwas produktives hier beitrage: Für zyklische Gruppen stimmt es. Man kann recht leicht einen Erzeuger einer solchen Untergruppe angeben.

28.03.2017, 01:16

Clearly_wrong

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~~Interessanterweise gilt auch die Umkehrung.~~ Wenn es zu jedem Teiler der Gruppenordnung [edit: genau] eine Untergruppe gibt, dann ist die Gruppe schon zyklisch, ~~dies sind also sogar die einzigen Beispiele, die man finden kann.~~

28.03.2017, 07:07

Pius Cheung

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Zitat:

Original von Clearly_wrong
Interessanterweise gilt auch die Umkehrung. Wenn es zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe gibt, dann ist die Gruppe schon zyklisch, dies sind also sogar die einzigen Beispiele, die man finden kann.

Nein. Siehe die symmetrische Gruppe auf 3 Punkten, die Dieder- und Quaternionengruppe der Ordnung 8 oder auch ganz simpel die kleinsche Vierergruppe.

28.03.2017, 09:43

Clearly_wrong

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Ja, das stimmt. Ich muss mal nachverfolgen, wo ich das herhabe.

Edit: In dem Satz, den ich meinte, steht zusätzlich noch die Voraussetzung, dass es exakt eine Untergruppe zu jedem Teiler sein muss. Die andere Version ist natürlich klar falsch Augenzwinkern

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