Eigenvektoren

27.03.2017, 19:38

manuel459

Eigenvektoren

Hey Leute, ich brüte seit Stunden an einer Unklarheit:

gegeben sei folgende Matrix, man soll Eigenvektoren berechnen:

A=
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5.5*cos(\pi /3) & i*sin(\pi /3)*cos(\pi/3) \\ -i*sin(\pi /3)*cos(\pi/3) & 4.5*cos(\pi/3) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei ergeben sich zuerst EW=2 bzw. 3

Ich löse nun das Gleichungssystem EW*IdentityMatrix-A=0
Hier stellt sich das Problem, dass es ja egal sein sollte welche Zeile ich betrachte, da diese linear abhängig sein sollten... sind sie aber nicht...
daher sind die Eigenvektoren auch nicht eindeutig...
warum nicht?!

LG

27.03.2017, 19:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von manuel459
Hier stellt sich das Problem, dass es ja egal sein sollte welche Zeile ich betrachte, da diese linear abhängig sein sollten... sind sie aber nicht...

Doch, sind sie - andernfalls hast du dich verrechnet.

27.03.2017, 19:52

manuel459

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Hey,

die Eigenwerte sind mit Mathematica geprüft.

Um die Eigenvektoren zu erhalten, berechne ich doch EW*Einheitsmatrix-A=0

Dabei ergibt sich für mich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0.25 & -i*0.43... \\ i*0.43... & 0.75 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dabei kann man sich auch wirklich nicht verrechnen, habs mindestens 10 mal gerechnet verwirrt

27.03.2017, 19:57

HAL 9000

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Zum einen rechnen wir doch bitte genau, d.h., für EW=3 bekommen wir

$\begin{align*} 3E-A = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{3}}{4}i\\ \frac{\sqrt{3}}{4}i & \frac{3}{4} \end{pmatrix} \end{align*}$ .

Und hier ist die zweite Zeile das $\begin{align*} \sqrt{3}i \end{align*}$ -fache der ersten Zeile. Also wie kommst du darauf, dass dem nicht so ist? Erstaunt1

27.03.2017, 20:04

manuel459

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hab den Fehler gefunden! es ergab sich für mich der Eigenvektor v1 für EW=3 mit v1=(cos(pi/3)*3,-i*sin(pi/3)).

Dieser wäre laut Professor nicht orthogonal zu v2=(cos(pi/3),i*sin(pi/3)), woraus sich die Unklarheit ergab, habe aber nun bemerkt dass v1 und v2 sehr wohl orthogonal zueinander sind.

Danke für die Bestätigung!

LG

27.03.2017, 20:11

HAL 9000

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Ehrlich, entledige dich doch der sin/cos-Terme dieser einfachen Standardwinkel: Es ist $\begin{align*} \cos\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \end{align*}$ und $\begin{align*} \sin\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \end{align*}$ , das vereinfacht die Terme, ohne dass man gleich ungenau rechnen muss.

27.03.2017, 20:30

manuel459

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ja da hast du vollkommen recht, durch das ganze Sinus Cosinus Geschreibe ist nämlich die lineare Unabhängigkeit auch nicht trivial ersichtlich! Big Laugh

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