Konsistenzordnung und Konvergenz eines RK-Verfahrens

28.03.2017, 12:57	Matherialist	Auf diesen Beitrag antworten »
Konsistenzordnung und Konvergenz eines RK-Verfahrens Meine Frage: Guten Tag, Ich habe folgende Aufgabe zu lösen: Vorgelegt sei das folgende Butcher-Tableau: $\begin{eqnarray} \renewcommand\arraystretch{1.2} \begin{array} {c\|cccc} 0 &0\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} &0\\ \hline &0 &1 \end{array} \end{eqnarray}$ (a) Führen Sie für das Anfangswertproblem: $\begin{eqnarray} \dot{x}=tsin(x(t)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x(0)=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ und die Scrittweite $\begin{eqnarray} \Delta t =\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ einen Schritt durch das Butcher-Tableau gegebenen Runge-Kutta-Verfahrens aus. (b) Bestimmen Sie die konstistenzordnung des Runke-Kutta-Verfahrens aus (a) direkt durch die Taylorentwicklung. (c) Konvergiert das Verfahren aus (a) für $\begin{eqnarray} \Delta t \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ gegen die exakte Lösung des AWPs? Meine Ideen:* Nun meine Ansätze sind folgende: (a) habe ich meines erachtens nach (richtig?) gelöst. mit den ks: $\begin{eqnarray} k_1=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k_2=\frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Die Lösung ist also: $\begin{eqnarray} x_{n+1} = x_n+0k_1+1k_2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ Ist dies soweit richtig? Zu (b) Vom Skript kenne ich nur folgende Definition: Die diskrete Evolution besitzt die Konsistenzordnung p, falls $\begin{eqnarray} \epsilon(t,x,\tau) = \mathcal{O} (\tau ^{p+1}), \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \tau \rightarrow 0 \end{eqnarray}$ . Damit weiß ich aber nichts anzufangen in der Aufgabe Zu (c) Wie beweise ich dann die Konvergenz? Ich vermute, dazu muss ich (b) gelöst haben?

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