Numerische Eigenwertbestimmung

Neue Frage »

AudiMarius Auf diesen Beitrag antworten »
Numerische Eigenwertbestimmung
Hallo,
Ich habe folgende Aufgabe:
Gegeben sei die Matrix:


(a) Zeigen Sie, dass die Matrix A nur reele Eigenwerte besitzt.
(b) Geben Sie mit Hilfe des Kreissatzes von Gershgorin eine Menge an, in der die Eigenwerte von A enthalten sind.
(c) Es soll der Eigenvektor zum kleinsten Eigenwert von A bestimmt werden. Geben Sie dazu ein geeignetes Verfahren an. Führen Sie ausgehend vom Startvektor einen Schritt dieses Verfahrens aus.
(d) Benutzen Sie die Eigenvektornäherung aus Aufgabenteil (c), um eine Näherung für den zugehörigen Eigenwert anzugeben.

Meine Ideen:

Zu (a)
Da gilt, sind alle Eigenwerte reell.

Zu (b)
Ich habe die zeilenweise bestimmt (was in dem Fall ja egal ist) und habe folgende bekomen:




Wie bestimme ich nun die Menge?

Zu (c)
Im Skript habe ich nur eine Methode gefunden:

Dort steht aber, dass hierbei sich der größte Eigenwert durchsetzt, was ja nicht der Aufgabe entspricht. Jedoch habe ich keine andere Vektoriteration im Skript gefunden.

Zu (d)
Da (d) auf (c) aufbaut habe ich noch keine Ansatz. Ich vermute aber, dass ich den Rayleighquotienten brauchen werde. Damit habe ich auch noch nichts gerechnet und bin nicht sicher, ob ich es hinbekomme.

Habt ihr vorschläge, wie ich die Aufgabe (oder einzelne Teile) lösen kann?

Viele Grüße
AudiMoritz

Zwei Beiträge zusammengefasst. Steffen
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AudiMarius




Wie bestimme ich nun die Menge?

Negative Radien??? Beträge vergessen! Und was ist wohl die Vereinigung ? Augenzwinkern

Zitat:
Original von AudiMarius
Im Skript habe ich nur eine Methode gefunden:

Dort steht aber, dass hierbei sich der größte Eigenwert durchsetzt

Allenfalls der betragsgrößte Eigenwert. Dann wende doch das Verfahren auf statt an, denn ...
 
 
AudiMoritz Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Negative Radien??? Beträge vergessen! Und was ist wohl die Vereinigung S(4,1)∪S(4,2)∪S(4,2)∪S(4,1) ? Augenzwinkern

Das ist wohl . Das war dann die Teilaufgabe?

Zitat:
Allenfalls der betragsgrößte Eigenwert. Dann wende doch das Verfahren auf A−1 statt A an, denn ...

Ok. Ich habe jetzt erstmal nicht die Inverse genommen. Müsste ich denn die Inverse hierfür nehmen?
Aber im Prinzip habe ich dann nach einem Iterationsschritt

Nun habe ich in den Rayleighquotienten mein x eingesetzt und R(x)=3 bekommen. Was sagt mir dies nun? Ich habe das Gefühl, dass ich den Rayleighquotienten falsch benutzt habe verwirrt

Danke für die Hilfe bislang
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AudiMoritz
Ok. Ich habe jetzt erstmal nicht die Inverse genommen. Müsste ich denn die Inverse hierfür nehmen?

Du musst gar nichts, es war lediglich ein Vorschlag. Wenn du eine andere Idee hast, auf den betragskleinsten EW und zugehörigen EV zu kommen, dann nimm die.
AudiMoritz Auf diesen Beitrag antworten »

Und ist die d richtig gelöst? mit dem Rayleighquotienten? Muss ich einfach mein x von der c dort einsetzen?
Wie komme ich dann auf die Eienwerte?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von AudiMarius
Da (d) auf (c) aufbaut habe ich noch keine Ansatz. Ich vermute aber, dass ich den Rayleighquotienten brauchen werde. Damit habe ich auch noch nichts gerechnet und bin nicht sicher, ob ich es hinbekomme.

Da gibt es nichts groß zu rechnen, im Verlauf der Iteration fällt das doch quasi nebenbei mit ab, zumindest was das Gros des Rechenaufwands betrifft:

Bei Iteration (egal ob nun mit zum Finden des betragsgrößten Eigenwerts von , oder mit zum Finden des betragskleinsten Eigenwerts von ) ist doch der Rayleigh-Quotient berechenbar als , also zwei simple Skalarprodukte in Zähler und Nenner. Du kannst also ohne großen Zusatzaufwand (der Hauptaufwand ist ja die Multiplikation "Matrix * Vektor" in der eigentlichen Iteration ) parallel die Annäherung mit verfolgen.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »