Lebesgue-Integrierbarkeit zeigen und LP-Räume

29.03.2017, 12:22

Schmachtkerl

Lebesgue-Integrierbarkeit zeigen und LP-Räume

Meine Frage:
Guten Tag,
Ich habe schon viele Einträge zu diesem Thema gesehen. Irgendwie verstehe ich es immernoch nicht. Ich rechne alte Klausuraufgaben bekomme die Lebesgue Integrierbarkeit einfach nicht hin.
Da ich glaube, dass dies Geschenkte Punkte in der Klausur sein können will ich das Thema auch nicht ruhen lassen.
Nun habe ich 2 Funktionen gegeben:
$\begin{eqnarray*} f:[1,2] \rightarrow \mathbb R f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{1}{x}, & x\in \mathbb Q \\ \frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{3}}}, & sonst\end{array}\right. \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:[1,2] \rightarrow \mathbb R g(x)=(cos x)^3+\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

(a) Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Lebesgue Integrierbar? Ist $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ Lebesgue Integrierbar?
(b) Zeigen Sie,
i) $\begin{eqnarray*} f \in L^P([1,2]) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p < \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f \notin L^P([1,2]) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} p \geq \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ,
ii) $\begin{eqnarray*} g \in L^P([1,2]) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1 \leq p \end{eqnarray*}$ .
(c) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \cdot g \in L^1([1,2]) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Zu (a)
g ist in diesem Bereich Riemann Integrierbar, also auch Lebesgue Integriebar. f ist finde ich nicht ganz so trivial. Da habe ich auch keinen Ansatz zu.
(b) Im Skript habe ich folgende Formel gefunden:
$\begin{eqnarray*} L^P(M) := \{ |f|_{\simeq}: \int_M|f|^P<\infty \} \end{eqnarray*}$
Wie kann ich damit die Aufgabe lösen?

Zu (c)
$\begin{eqnarray*} L^1 \end{eqnarray*}$ Es wäre zu einfach, wnen ich einfach das P in der obigen Gleichung durch eine 1 austauschen würde?

Habt ihr Tipps, wie ich die Aufgaben lösen kann? Vielen Dank bereits im Voraus

-Schmachtkerl

29.03.2017, 20:25

Clearly_wrong

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Tipp für die Intergierbarkeit von $\begin{align*} f \end{align*}$ . Wenn zwei Funktionen fast überall übereinstimmen, so kann man im Kontext der Integrationstheorie beide Funktionen einfach austauschen. Kennst du eine Funktion, die fast überall gleich $\begin{align*} f \end{align*}$ ist, aber einfacher zu handhaben?

b) Hier musst du abschätzen. Du kannst $\begin{align*} \int_s^2 |f|^p \end{align*}$ explizit in Abhängigkeit von $\begin{align*} s,p \end{align*}$ bestimmen und dann schauen, für welche $\begin{align*} p \end{align*}$ der Grenzwert $\begin{align*} s\searrow 1 \end{align*}$ endlich ist.

c) $\begin{align*} |g|^p \end{align*}$ für jedes $\begin{align*} p \end{align*}$ zu einer ganz bestimmten Familie von Funktionen, die alle integrierbar sind, weil $\begin{align*} g \end{align*}$ selbst zu dieser Familie gehört, was fällt dir dazu ein?

30.03.2017, 12:00

Schmachtkerl

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zu (a)
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ähnlich, wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , das fast alle Werte zwischen 1 und 2 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind. Bis auf vllt. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .
zu (b)
Irgendwie stehe ich da immernoch auf dem Schlauch..
zu (c)
Eine Funktion ist Integrierbar, wenn jeder Teil der Funktionen Integrierbar ist?

30.03.2017, 13:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Schmachtkerl
zu (a)
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist ähnlich, wie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , das fast alle Werte zwischen 1 und 2 in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ sind. Bis auf vllt. $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ .

In die falsche Kiste gegriffen: Hinsichtlich Lebesguemaß $\begin{align*} \lambda \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \lambda([0,1]\cap \mathbb{Q})=0 \end{align*}$ schlicht wegen der Abzählbarkeit von $\begin{align*} \mathbb{Q} \end{align*}$ , und folglich $\begin{align*} \lambda([0,1]\setminus \mathbb{Q})=1 \end{align*}$ . D.h., $\begin{align*} f \end{align*}$ ist fast überall gleich $\begin{align*} \tilde{f}(x):=(x-1)^{-\frac{2}{3}} \end{align*}$ für $\begin{align*} x\in (1,2] \end{align*}$ .

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