20 te primitive Einheitswurzel konstruierbar?

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Natti22 Auf diesen Beitrag antworten »
20 te primitive Einheitswurzel konstruierbar?
Meine Frage:
Hallo zusamm!

Ich sitze gerade an folgender Aufgabe, bei der ich etwas Hilfe benötige:

Es sei (gemeint ist der Algebraische Abschluss von Q) eine primitive 20-te Einheitswurzel.
1) Ist dann mit Zirkel und Lineal konstuierbar?
2) Was ist das Minimalpolynom von ?
3) Ist konstuierbar?
4) Ist konstruierbar?


Meine Ideen:
Ich habe leider keine Übungsaufgaben dazu die ähnlich sind und die entsprechende Seite im Skript fehlt mir auch, deshalb verstehe ich nicht genau wie man diese Konstruierbarkeit zeigen kann.

zu 1) Laut einem Beispiel auf Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon) würde für n=20 folgen, dass und jedoch weiß ich damit nicht recht was anzufangen, bzw wie ich weiter vor zu gehen habe ...

zu 2) Minpol. ist .

zu 3) Laut Wiki: ist die Zahl a > 0 () konstruierbar, so kann man mit Hilfe des Höhensatzes zwei Punkte mit Abstand Wurzel aus a konstruieren. Dies wäre doch dann die zehnte Wurzel aus 5 und somit konstuierbar? Verstehe das nicht so ganz :/

zu 4) erst nach den anderen...

Wäre für jede Hilfe Dankbar, vorallem in Bezug auf die vorgehensweise beim zeigen das eine primitive Einheitswurzel konstruierbar ist smile
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 20 te primitive Einheitswurzel konstruierbar?
Hallo,
dazu kann ich einiges sagen:
Man erhaelt die 20. Einheitswurzeln, indem man den einheitskreis in 20 gleiche teile schneidet, und
es ist so, das man wenn man die 5. Einheitswurzeln schon kennt, braucht man nur 2 mal hintereinander die mittelsenkrechten zu konstruieren, dann kommt man zu den 10.bzw.20.
Einheitswurzeln. Jetzt ist nur noch die frage, ob man die 5.Einheitswurzeln konstruieren kann..
Und das geht tatsaechlich, weil man dafuer eine erweiterung ueber Q von grad 4 braucht, und alle
Erweiterungen ueber Q von grad 2^n sind konstuierbar.
Das minalpolynom von 2) ist nicht richtig, es ist noch reduzibel. Dann kannst du auch 3) und 4)
beantworten... Augenzwinkern
gruss ollie3
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: 20 te primitive Einheitswurzel konstruierbar?
Hallo,
sorry, ich muss mich hier korrigieren:
dein Minimalpolynom zu 2) ist doch richtig, denn t^5 -5 ist im Gegensatz zu t^5 -1 tatsaechlich irreduzibel ueber Q. Augenzwinkern
gruss ollie3
Natti22 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank schonmal für deine Antwort.

1) Kann ich inzwischen nachvollziehen und wenn man die 20. auf die 5. Einheitswurzel zurückführen kann, gehts ja analog zum Beispiel in meinem Wiki Link.

zu 3) ich bin mir hier noch unsicher, ich dachte jetzt, da die 5 wurzel aus 5 das Minpol erzeugt, und deg(f)=5 ist, folgt laut unserer Vorlesung das

und somit wäre es doch eine Erweiterung über Q vom Grad 5 , welche also keine Potenz von 2 ist und somit nicht konstruierbar, oder liege ich da falsch?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ja, du liegt genau richtig, Freude , ist also nicht konstruierbar.
Jetzt bleibt nur noch 4), aber das ist ja jetzt sehr einfach. Augenzwinkern
gruss ollie3
Natti22 Auf diesen Beitrag antworten »

Super, danke!

ja zu 4) würde ich sagen, wenn eins von beiden schon nicht konstruierbar ist, dann ist es die Summe von beiden auch nicht.

Aber was mich hier noch mehr interessiert ist, also wenn ich vielfache von der 5 nehme, bzw die Reihe weiter gehen würde 5. - 10. - 20. - 40. - 80. Einheitswurzel usw. sind diese alle auf die 5. EW zurück zuführen und somit konstruierbar, aber wie sieht es mit den EW dazwischen aus, also wenn ich mal ganz willkürlich mir die 15. und 18.EW anschaue, gilt dann genauso das somit konstruierbar.
Und somit nicht konstruierbar.
 
 
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
ja, auch das ist wieder genau richtig, nur du musst aus formalen gründen die einheitengruppen noch
in "betragsstriche" setzen, denn die Gruppen sind ja hier nicht =8 oder 6, sofern die Anzahl ihrer
Elemente. Augenzwinkern
gruss ollie3
Clearly_wrong Auf diesen Beitrag antworten »

Ich finde die Formulierung etwas unglücklich gewählt.

Zitat:
ja zu 4) würde ich sagen, wenn eins von beiden schon nicht konstruierbar ist, dann ist es die Summe von beiden auch nicht."


Es hört sich so an, als sei dies auch dann der Fall, wenn beide nicht konstruierbar sind. Ich weiß nicht, ob es so gemeint war, aber es liest sich so.
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