Untervektorraum prüfen

30.03.2017, 10:17

Top-SecreT

Untervektorraum prüfen

Ich habe wieder eine schöne Aufgabe.

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ der Vektorraum der $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen über einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ . Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ Unterräume von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ sind.

$\begin{eqnarray*} U = \left\{A = (a_{ij}) \in V | \forall 1 \leq i, j \leq n := a_{ij} = a_{ji} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe der Satz stimmt jetzt noch, ich musste ihn etwas umschreiben da ich es mit Latex nicht 1:1 übernehmen konnte.

Jetzt muss ich ja die 3 Punkte nachweisen.

1. $\begin{eqnarray*} U \neq 0 \end{eqnarray*}$ da $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in U \end{eqnarray*}$
2. Abgeschlossenheit bezüglich Vektoraddition
3. Abgeschlossenheit bezüglich Skalarmultiplikation

So und bei 2. kann ich ja schreiben

$\begin{eqnarray*} a_{ij}+b_{ij} = c_{ij} \in U \end{eqnarray*}$

Jetzt komm ich aber nicht drauf wie ich beweisen kann dass für $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} c_{ij} = c_{ji} \end{eqnarray*}$ auch zutrifft.

LG

30.03.2017, 10:31

klarsoweit

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RE: Untervektorraum prüfen

Zitat:

Original von Top-SecreT
$\begin{eqnarray*} U = \left\{A = (a_{ij}) \in V | \forall 1 \leq i, j \leq n := a_{ij} = a_{ji} \right\} \end{eqnarray*}$ .

Ich hoffe der Satz stimmt jetzt noch, ich musste ihn etwas umschreiben da ich es mit Latex nicht 1:1 übernehmen konnte.

Gemeint ist wohl: $\begin{eqnarray*} U = \left\{A = (a_{ij}) \in V ~|~ \forall 1 \leq i, j \leq n :~ a_{ij} = a_{ji} \right\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Top-SecreT
So und bei 2. kann ich ja schreiben

$\begin{eqnarray*} a_{ij}+b_{ij} = c_{ij} \in U \end{eqnarray*}$

Jetzt komm ich aber nicht drauf wie ich beweisen kann dass für $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ die Bedingung $\begin{eqnarray*} c_{ij} = c_{ji} \end{eqnarray*}$ auch zutrifft.

Dann schreibe doch mal $\begin{eqnarray*} c_{ji} \end{eqnarray*}$ hin und vergleiche das mit $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

30.03.2017, 10:33

Top-SecreT

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Achso meinst du

$\begin{eqnarray*} a_{ij} + b_{ij} = c_{ij} = c_{ji} = b_{ji} + a_{ji} \end{eqnarray*}$

?

30.03.2017, 10:40

klarsoweit

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Nun ja, ich würde es eher so schreiben:

$\begin{eqnarray*} c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = a_{ji} + b_{ji} = c_{ji} \end{eqnarray*}$

Für jedes Gleichheitszeichen sollte es eine Begründung geben.
Oder man sagt: "Wie man leicht sieht." Big Laugh

30.03.2017, 11:03

Top-SecreT

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Ok super danke smile

Und kann ich es für die Skalarmultiplikation analog dazu machen?

Sei $\begin{eqnarray*} r \in \mathbb K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c_{ij} = ra_{ij} = ra_{ji} = c_{ji} \end{eqnarray*}$

?

30.03.2017, 11:36

klarsoweit

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Was spricht dagegen? Soll sagen: alles ok. smile

30.03.2017, 11:39

Top-SecreT

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Vielen Dank smile

30.03.2017, 11:41

IfindU

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Als kurzer Einwand zur Nicht-leere der Menge. Diese hast nur für $\begin{eqnarray*} n = 2 \end{eqnarray*}$ gezeigt.

30.03.2017, 11:54

Top-SecreT

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Achso du hast Recht. Ich muss schreiben $\begin{eqnarray*} I_n \in U \end{eqnarray*}$ richtig? Oder auch $\begin{eqnarray*} 0 \in U \end{eqnarray*}$

Bei der Aufgabe gibt es noch eine 2. Teilaufgabe welche lautet

Sei $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ eine feste Matrix in $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , und sei $\begin{eqnarray*} W = \left\{A \in V | AT = TA \right\} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kann hier entweder die Nullmatrix oder auch die Einheitsmatrix sein.
Wenn es die Einheitsmatrix wäre und ich die Addition beweisen soll muss dann auch Einheitsmatrix + Einheitsmatrix in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegen? Das wäre ja dann nicht der Fall.
Also was ich gerade nicht rausfinde ob man die Addition mit 2x der selben Matrix beweisen können soll oder ob man verschiedene Matrizen von $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ nehmen muss. Denn Nullmatrix + Einheitsmatrix wäre ja dann wieder in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$

30.03.2017, 12:21

klarsoweit

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Zitat:

Original von Top-SecreT
Ich denke $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kann hier entweder die Nullmatrix oder auch die Einheitsmatrix sein.

Oder auch T oder auch ganz was anderes. Hauptsache A erfüllt die Gleichung A*T = T*A .

Zitat:

Original von Top-SecreT
Wenn es die Einheitsmatrix wäre und ich die Addition beweisen soll muss dann auch Einheitsmatrix + Einheitsmatrix in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegen? Das wäre ja dann nicht der Fall.

Wieso nicht?

30.03.2017, 12:25

Top-SecreT

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Ach ich bin ja falsch. Das Ergebnis würde ja auch in $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ liegen. Soweit hab ich nicht gedacht. Hab mich jetzt auf die 2 Matrizen beschränkt.

Dankeschön

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