Kreuzprodukt-verallgemeinerung

30.03.2017, 15:48	philip122	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreuzprodukt-verallgemeinerung Meine Frage: Neulich rechneten wir in der Uni eine Aufgabe, wo am Schluss der Ausdruck $\begin{eqnarray} \langle v\times w,v \rangle \end{eqnarray}$ vorkam. Meine Ideen: Im ersten Moment dachte ich, dass das sowieso Null wäre, da $\begin{eqnarray} v\times w \end{eqnarray}$ ja orthogonal zu $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ is..... Aber in dieser Aufgabe war nicht expliziet von Standardskalarprodukt die Rede. Und es gibt ja auch Skalarprodukte, in denen 2 Vektoren, die einen klassischer Rechter Winkel im allgemein geometrischen Sinne haben, nicht 0 ergeben. Zum Beispiel das Skalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle -,- \rangle:\mathbb R ^{2} \longrightarrow \mathbb R ^{2} ; \left(x,y\right) \mapsto 3x_{1}y_{1}+2x_{2}y_{2} \end{eqnarray}$ (erfüllt alle Axiome für ein Skalarprodukt), in dem die Vektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nicht orthogonal zu diesem Skalarprodukt sind und somit, dass Skalarprodukt nicht 0 ergibt, obwohl die Vektoren im geometrischen Sinne im rechten Winkel zueinander stehen. Desshalb wollte ich fragen, ob es eine verallgemeinerte Definition eines Kreuzproduktes gibt, in dem das Kreuzprodukt durch ein Skalarprodukt definiert ist. Vielen Dank im vorraus ;-)
31.03.2017, 18:42	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist nicht bekannt, dass man das Kreuzprodukt auch für allgemeinere Skalarprodukte definiert. Möglich wäre es wohl, ergibt aber nur in einem derart eingeschränkten Rahmen Sinn, dass sowas denke ich nicht gemacht wird. Unter anderem müsste für das Kreuzprodukt, wenn man es nur von zwei Vektoren bildet, der unterliegende Raum immer ein 3-dimensionaler Skalarproduktraum sein; nicht unbedingt eine große Verallgemeinerung. Vielleicht ist in der Aufgabe ja das Standardskalarprodukt gemeint. Wenn du den Aufgabentext postest, könnte ich mir das mal ansehen.

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