Lösungen von Differentialgleichungen

30.03.2017, 22:46	Excalibur1	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösungen von Differentialgleichungen Meine Frage: Eine Differentialgleichung der Form $\begin{eqnarray} f''(t)+af'(t)+bf(t)=0 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ sind reelle Konstanten) ist gegeben. Die Lösungen der charakteristischen Gleichung $\begin{eqnarray} k^{2}+ak+b=0 \end{eqnarray}$ sind $\begin{eqnarray} k_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k_{2} \end{eqnarray}$ . Sind diese verschieden so kann man mit den Funktionen $\begin{eqnarray} f_{1}(t)=e^{k_{1}t} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} f_{2}(t)=e^{k_{2}t} \end{eqnarray}$ und den Konstanten $\begin{eqnarray} c_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_{2} \end{eqnarray}$ die Lösung der Differentialgleichung $\begin{eqnarray} f(t)=c_{1}f_{1}(t)+c_{2}f_{2}(t) \end{eqnarray}$ bestimmen. In dem von der RWTH Achen herausgegebenen Schülerarbeitsheft, wo sich auch die obige Erklärung findet, wird erwähnt das es sich mit "mehr mathematischer Theorie" zeigen lässt das alle Lösungen der Differentialgleichung als $\begin{eqnarray} f(t) \end{eqnarray}$ darstellbar sind. Meine Frage wäre jetzt wie sich das konkret zeigen lässt. Da ein vollständiger Beweis sicherlich recht viel Arbeit wäre, würde ich mich schon über irgendwelche Anhaltspunkte oder Ansätze freuen, da das Heft da nicht viel hergibt. Meine Ideen:* Wie bereits erwähnt habe ich keinerlei Anhaltspunkte oder Ideen zur Lösung.
31.03.2017, 21:34	Clearly_wrong	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gilt sehr allgemein, dass die Lösungsmenge eines $\begin{align} n- \end{align}$ dimensionalen homogenen Differentialgleichungssystems immer ein $\begin{align} n- \end{align}$ dimensionaler Vektorraum ist. Hat man also $\begin{align} n \end{align}$ linear unabhängige Lösungen gefunden, müssen diese schon den gesamten Lösungsraum aufspannen. Der Beweis, den ich dafür kenne, benutzt den Satz von Picard-Lindelöf. Für diesen Spezialfall ist mir aber gerade beim Schreiben des Beitrags ein einfacher Beweis eingefallen. Sei $\begin{align} f \end{align}$ eine beliebige Lösung der Differentialgleichung. Betrachte $\begin{align} g(t) := \big(f(t)e^{-k_1t}\big)'\cdot e^{(k_1-k_2)t} = e^{-k_2t}\cdot (f'(t)-k_1f(t)) \end{align}$ . Zeige, dass $\begin{align} g'(t) = 0 \end{align}$ für alle $\begin{align} t \end{align}$ . Daraus folgt, dass $\begin{align} g(t) \end{align}$ konstant ist und damit kannst du backtracken und herausfinden, wie $\begin{align} f \end{align}$ aussehen muss.
02.04.2017, 14:13	Excalibur1	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort, hat mir sehr geholfen.

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