Lipschitz-Stetig von R nach R^2

31.03.2017, 12:25	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz-Stetig von R nach R^2 I h habe folgende Aufgabe: $\begin{eqnarray} f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ist Lipschitz-stetig. Ich soll zeigen , dass $\begin{eqnarray} \{f(t): t\in [a,b]\} \end{eqnarray}$ eine Nullmenge ist. Meine Überlegung ist: Eine Zerlegung $\begin{eqnarray} \|Z\|<\epsilon \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ zu finden, mit der ich dann über die Lipschitz-stetigkeit zeigen kann, dass $\begin{eqnarray} \mu(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}f(Z_n))\leq \sum_{n\in\mathbb{N}}\mu(f(Z_n)) \leq \sum_{n\in\mathbb{N}} \underset{x,y\in Z_n}{\sup}\|\|f(x)-f(y)\|\|^2\leq (K\epsilon)^2 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist der Faktor für die Lipschitz-stetigkeit. Leider habe ich bis jetzt noch keine solche Zerlegung gefunden. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand hier helfen könnte, oder mir einen neuen Denkanstoß gibt
31.03.2017, 13:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist gut. Nimm dir ganz dreist die uniforme Zerlegung, d.h. für festes $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ sei $\begin{eqnarray} Z^{(n)}_i = \Big[ a +i \frac { b - a} n, a + (i+1) \frac { b-a} n \Big) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} i =0, 1, \ldots, n-1 \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} \|Z^{(n)}_i\| = \frac {b-a} n \end{eqnarray}$ und es gibt pro Stufe $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ebenfalls $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ .
31.03.2017, 13:23	Lehi	Auf diesen Beitrag antworten »
Perfekt danke. Also: $\begin{eqnarray} Z^{(n)}_i = \Big[ a +(i-1) \frac { b - a} n, a + i \frac { b-a} n \Big] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mu(\bigcup_{i=1}^nf(Z_i^{(n)}))\leq \sum_{i=1}^n\mu(f(Z_i^{(n)})) \leq \sum_{i=1}^n \underset{x,y\in Z_i^{(n)}}{\sup}\|\|f(x)-f(y)\|\|^2\leq \sum_{i=1}^n (K\frac {b-a} n)^2 = K^2\frac {(b-a)^2} n \end{eqnarray}$ Das $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ kann ich jetzt beliebig groß werden lassen, womit $\begin{eqnarray} \bigcup_{i=1}^nf(Z_i^{(n)}) = \{f(t): t\in [a,b]\} \end{eqnarray}$ zu einer Nullmenge wird
31.03.2017, 13:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »

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