x und y aus Gleichungssystem berechnen

01.04.2017, 13:21

Robinson

x und y aus Gleichungssystem berechnen

Hallo Leute!

Ich habe folgende Aufgabe berechnet und würde gerne mal euer Feedback dazu haben! Kann man es sich vielleicht einfacher machen?

$\begin{eqnarray*} (1) ax+ay=a^{2}+1 (2) \frac{x}{a}+ay=2 ax+ay=a^{2}+1 -\frac{x}{a}-ay=-2 ax-\frac{x}{a}=a^{2}-1 x(a-\frac{1}{a}) =a^{2}-1 x(\frac{a\cdot a}{a}-\frac{1}{a})= a^{2}-1 x(a^{2}-\frac{1}{a})=a^{2}-1 x\cdot \frac{a^{2}-1 }{a(a^{2}-1) }=1 x\cdot \frac{1}{a}=1 x\cdot 1=1\cdot a x=a \end{eqnarray*}$

Einsetzen in Gleichung 2:

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+ay=2 \frac{a}{a}+ay=2 1+ay=2 ay=1 y=\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$

L=(a;1/a)

01.04.2017, 13:45

HAL 9000

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Die Lösung ist nicht in Gänze richtig:

An einer Stelle dividierst du durch $\begin{align*} (a^2-1) \end{align*}$ . Das darfst du aber nur, wenn dieser Term ungleich Null ist. unglücklich

D.h., für $\begin{align*} a^2-1=0 \end{align*}$ (sprich: die Parameterwerte $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} a=-1 \end{align*}$ ) musst du eine gesonderte Betrachtung durchführen!

01.04.2017, 15:54

Robinson

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Das heißt ich hätte die Definitionsmenge für die Bruchgleichung bestimmen müssen richtig?

$\begin{eqnarray*} a\neq 1,-1 \end{eqnarray*}$

01.04.2017, 16:08

mYthos

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Definitionsmenge schon, aber dabei ist nur $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ (!)
Die beiden Fälle für a = 1 und a = -1 sind ja auch "erlaubt", diese musst du getrennt durchrechnen, indem du diese Werte in die Anfangsgleichungen einsetzst.

mY+

01.04.2017, 18:21

Robinson

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Den Schritt verstehe ich jetzt noch nicht.

Irgendwie verstehe ich noch nicht den Sinn a=1 und a=-1 in die Anfangsgleichung einzusetzen.

Kann mir das vielleicht jemand etwas ausführlicher erklären bitte?

01.04.2017, 18:40

HAL 9000

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Sind wir uns erstmal einig, dass das Gleichungssystem auch für die Parameterwerte a=1 sowie a=-1 Sinn macht - im Gegensatz zu a=0, denn in letzterem Fall ist der Term $\begin{align*} \frac{x}{a} \end{align*}$ nicht definiert.

Jetzt hast du oben umgeformt bis zur Stelle

$\begin{align*} x\cdot \frac{a^2-1}{a} = a^2-1\qquad (*) \end{align*}$ .

Dann hast du dividiert durch $\begin{align*} (a^2-1) \end{align*}$ , und ich habe angemerkt, dass du das für $\begin{align*} a=\pm 1 \end{align*}$ nicht tun darfst. Was sagt nun aber (*) für jenen Sonderfall $\begin{align*} a=\pm 1 \end{align*}$ , d.h., just vor jener nun nicht durchführbaren Division? Da steht schlicht dort $\begin{align*} 0=0 \end{align*}$ , was eine wahre Aussage ist, d.h., dieser Zweig bringt keine näheren Erkenntnisse zur Lösungsstruktur. Dennoch sind die Fälle $\begin{align*} a=\pm 1 \end{align*}$ zu untersuchen, und das tut man, indem man zum Anfang zurückgeht:

$\begin{align*} a=1 \end{align*}$ eingesetzt ergibt das Gleichungssystem

$\begin{align*} (1)\qquad x+y &=2\\ (2)\qquad x+y &=2 \end{align*}$

Damit sagt (2) dasselbe wie (1), es ist also nur die eine Gleichung $\begin{align*} x+y=2 \end{align*}$ zu lösen, d.h., die Lösungsmenge in diesem Fall $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ umfasst alle Paare $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , welche diese eine Gleichung erfüllen!

Analog ist mit dem anderen noch verbleibenden Fall $\begin{align*} a=-1 \end{align*}$ zu verfahren.

02.04.2017, 13:25

Robinson

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sind wir uns erstmal einig, dass das Gleichungssystem auch für die Parameterwerte a=1 sowie a=-1 Sinn macht - im Gegensatz zu a=0, denn in letzterem Fall ist der Term $\begin{align*} \frac{x}{a} \end{align*}$ nicht definiert..

Kann ich nachvollziehen, wenn ich in die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+ay=2 \end{eqnarray*}$ 0 einsetze, dann wäre das falsch, da ich nicht durch Null teilen darf, also schließe ich die Null aus dem Definitionsbereich aus: $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von HAL 9000
Jetzt hast du oben umgeformt bis zur Stelle

$\begin{align*} x\cdot \frac{a^2-1}{a} = a^2-1\qquad (*) \end{align*}$ .

Dann hast du dividiert durch $\begin{align*} (a^2-1) \end{align*}$ , und ich habe angemerkt, dass du das für $\begin{align*} a=\pm 1 \end{align*}$ nicht tun darfst. Was sagt nun aber (*) für jenen Sonderfall $\begin{align*} a=\pm 1 \end{align*}$ , d.h., just vor jener nun nicht durchführbaren Division? Da steht schlicht dort $\begin{align*} 0=0 \end{align*}$ , was eine wahre Aussage ist, d.h., dieser Zweig bringt keine näheren Erkenntnisse zur Lösungsstruktur.

Okay, ich habe das mal im Formeleditor nachgebaut:
$\begin{eqnarray*} x\cdot (\frac{a^{2}-1 }{a}) =a^{2}-1 x\cdot (\frac{1^{2}-1 }{1})=1^{2}-1 x\cdot \frac{0 }{1}=0 0=0 \end{eqnarray*}$

Das heißt ich muss meinen am Anfang aufgestellten Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} a\neq 0 \end{eqnarray*}$ nochmal überprüfen, da ich ja jetzt festgestellt habe, dass beim Einsetzen von plus minus 1 sich in diesem Term $\begin{eqnarray*} x\cdot (\frac{a^{2}-1 }{a}) =a^{2}-1 \end{eqnarray*}$
0=0 ergeben würde.
Ich weiß ich kann das nicht so mathematisch korrekt beschreiben, ich hoffe ihr versteht wie ich das meine und könnt mir sagen, ob meine Gedankengänge richtig sind..

Zitat:

Original von HAL 9000
Dennoch sind die Fälle $\begin{align*} a=\pm 1 \end{align*}$ zu untersuchen, und das tut man, indem man zum Anfang zurückgeht:

$\begin{align*} a=1 \end{align*}$ eingesetzt ergibt das Gleichungssystem

$\begin{align*} (1)\qquad x+y &=2\\ (2)\qquad x+y &=2 \end{align*}$

Damit sagt (2) dasselbe wie (1), es ist also nur die eine Gleichung $\begin{align*} x+y=2 \end{align*}$ zu lösen, d.h., die Lösungsmenge in diesem Fall $\begin{align*} a=1 \end{align*}$ umfasst alle Paare $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , welche diese eine Gleichung erfüllen!

Analog ist mit dem anderen noch verbleibenden Fall $\begin{align*} a=-1 \end{align*}$ zu verfahren.

Dann muss ich jetzt also $\begin{eqnarray*} \pm 1 \end{eqnarray*}$ in meine beiden Ausgangsgleichungen einsetzen:

$\begin{eqnarray*} ax+ay=a^{2}+1 1\cdot x+1\cdot y=1^{2}+1 x+y=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ax+ay=a^{2}+1 -1\cdot x+(-1)\cdot y=-1^{2}+1 -x-y=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+ay=2 \frac{x}{1}+ 1\cdot y=2 x+y=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{a}+ay=2 \frac{x}{-1}+ (-1)\cdot y=2 -x-y=2 \end{eqnarray*}$

Ich verstehe jetzt die Schlussfolgerung von dir nicht: "Damit sagt (2) dasselbe wie (1), es ist also nur die eine Gleichung x+y=2 zu lösen, d.h., die Lösungsmenge in diesem Fall a=1 umfasst alle Paare (x,y), welche diese eine Gleichung erfüllen!"

02.04.2017, 14:03

HAL 9000

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Bitte nicht a=1 mit a=-1 vermischen - bleiben wir erstmal nur bei a=1. Und da ergibt Einsetzen in deine beiden Gleichungen des Gleichungssystems schlicht und einfach

$\begin{align*} (1)\qquad x+y &=2\\ (2)\qquad x+y &=2 \end{align*}$ .

Ist es denn nun so schwer zu begreifen, dass beide Gleichungen identisch siind, d.h., am Ende nur ein- und dieselbe? unglücklich

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Letzter Versuch: Die Lösungsmenge des Gleichungssystems (1)(2) besteht aus allen Paaren $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , welche die Gleichungen (1) und (2) erfüllen. Da es aber im Fall a=1 inhaltlich dieselbe Gleichung ist, besteht eben die Lösungsmenge für a=1 aus allen Paaren $\begin{align*} (x,y) \end{align*}$ , welche die eine Gleichung $\begin{align*} x+y=2 \end{align*}$ erfüllen.

Noch deutlicher kann ich es nicht ausdrücken - wenn du es immer noch nicht begreifst, dann musst du auf einen anderen Helfer warten, denn dann bin ich mit meinem Latein am Ende.

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