Picard-Lindelöf bei nicht-offenem Definitionsbereich

01.04.2017, 13:56	TimBoard	Auf diesen Beitrag antworten »
Picard-Lindelöf bei nicht-offenem Definitionsbereich Meine Frage: Hallo liebe Matheboard-Community, ich habe ein Verständnisproblem bei der Anwendung des Satzes von Picard-Lindelöf bei Funktionen mit nicht-offenem Definitionsbereich. Sei $\begin{eqnarray} x: [0,\inf)\longrightarrow \mathbb{R}^5 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x'(t)=F(x(t)) \end{eqnarray}$ F ist eine C1-Funktion und daher lokal Lipschitz-stetig. Für nichtnegative Anfangswerte x_i(0)>=0, i=1,..,5 gilt immer x_i(t)>=0 für alle t>=0. Der Satz von Picard-Lindelöf: Sei $\begin{eqnarray} I \subset \mathbb{R} \end{eqnarray}$ ein offenes Intervall, $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ offen, sei t0 in I, x0 in $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Sei F in $\begin{eqnarray} C^0(I \times \Omega,\mathbb{R}^n) \end{eqnarray}$ lokal Lipschitzstetig in x, Dann existiert ein $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ , sodass das AWP eine eindeutige, stetige Lösung x auf $\begin{eqnarray} [-\tau, \tau] \end{eqnarray}$ hat. Ich möchte die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der DGL für alle nichtnegativen reellen Zahlen zeigen. Wie kann ich das erreichen? Meine Ideen: Nehmen wir an, dass ich für ein $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ das Intervall $\begin{eqnarray} I=(-\epsilon, \inf) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Omega=I^5 \end{eqnarray}$ wähle. Dann weiß ich nicht, wie sich x(t) für die negativen t aus I verhält. So könnte x nicht mehr stetig sein oder x(t) liegt einfach nicht in \Omega. Wähle ich allerdings ein Intervall $\begin{eqnarray} I=(\epsilon, \inf) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \Omega=I^5 \end{eqnarray}$ , liegt t_0=0 nicht mehr in I. Hat einer von euch eine Idee, wie ich dennoch die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung für alle t in $\begin{eqnarray} [0, \inf) \end{eqnarray}$ zeigen kann? Für jede Hilfe oder Anregung bin ich sehr dankbar.
03.04.2017, 10:35	TimBoard	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat jemand von euch eine Idee? Oder übersehe ich etwas Wichtiges und die Frage ist einfach nur selten dämlich? Über Hinweise/ Anregungen/ Hilfestellungen würde ich mich sehr freuen. Tim
04.04.2017, 17:53	TimBoard	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die Frage unklar gestellt? Wenn ja, welchen Teil soll ich genauer erläutern? Ich finde zur Zeit leider keine anderen Lösungsansätze als die oben beschriebenen und bewege mich immer wieder auf den gleichen Gedankenbahnen. Etwas Hilfe wäre also toll!
04.04.2017, 19:16	PWM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, tatsächlich ist mir Deine Frage nicht klar. Du willst Existenz auf [0,inf[. Aber schon die einfache Dgl x'=x^2, x(0)=1 hast keine Lösung auf [0,inf[? Gruß pwm
05.04.2017, 08:50	TimBoard	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo PWM, vielen Dank für dein Beispiel. Ich sehe, dass die Lösung von x'=x^2 nicht auf ganz [0,inf) definiert ist. Wo ist allerdings der Widerspruch zu den Annahmen von Picard-Lindelöf? Wählen wir für Picard-Lindelöf [latex] I=\Omega=[0,\infty) [\latex]. Dann sind t_0=0 und x_0=1 in I bzw. Omega. F ist stetig und C^1, daher lokal Lipschitz-stetig. Somit existiert eine Umgebung um (t_0, x_0), in der eine Lösung existiert. Da x^2 aber nicht global Lipschitz-stetig ist lässt sich die Lösung nicht auf ganz [0, inf) erweitern. Stimmt das so weit? Vielen Dank auf jeden Fall für den Denkanstoß. Jetzt muss ich meine Theorie wohl nochmal überarbeiten.

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