Differential invertierbar in hinreichend kleiner Umgebung |
| 02.04.2017, 13:10 | qwerfvcxydsa | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Differential invertierbar in hinreichend kleiner Umgebung Ich lese gerade Skripte und Bücher zu vergangenen Vorlesungen und da hat sich mir eine Frage gestellt: Im Buch "Tutorium Analysis 2 und Lineare Algebra 2" wird der Satz über implizite Funktionen allgemein für Banachräume gezeigt. Hier wird an einer Stelle verwendet, dass wenn das Differential Df einer stetig differenzierbaren Funktion f zwischen Banachräumen an der Stelle x0 invertierbar und die Inverse stetig ist, so existiert eine Umgebung U von x0, sodass Df(x0) für alle x aus U invertierbar ist und die Inverse stetig ist. Wie zeigt man das, bzw. wieso gilt das? Meine Ideen: Eigene Ideen habe ich leider keine ^^ |
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| 02.04.2017, 13:32 | Guppi12 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, Edit: Moment, ich habe übersehen, dass du garnicht die volle Aussage des Satzes über die Umkehrabbildung benutzt, sondern nur einen Teil davon. In diesem Fall sollte der Beweis einfacher sein. Man kann relativ einfach mit Hilfe der Neumannreihe zeigen, dass Menge der stetig invertierbaren linearen Abbildungen offen in ist. Die Stetigkeit von sollte dann den Rest erledigen. ------------------------------------------------------ Hier mein ursprünglicher Beitrag: es handelt sich dabei um den Satz über die Umkehrabbildung. In diesem Satz steckt, sofern er verwendet wird, die ganze Arbeit im Beweis des Satzes über implizite Funktionen, er ist äußerst nichttrivial und ich kann ihn dir hier nicht mal eben hinschreiben 
Daher sollte er innerhalb dieses Buches dann irgendwo vorher mal bewiesen werden. Ich habe das von dir erwähnte Buch leider nicht vor mir liegen, aber falls du Zugang dazu hast, steht der Beweis alternativ im Ahmann und Escher, Analysis 2, Theorem 7.3 (und nimmt dort exklusive Vorarbeit 2 komplette Seiten ein). Wenn du den Beweis gelesen hast und dann explizite Fragen zu bestimmten Schritten hast, kann ich dir gerne weiterhelfen, ohne Vorarbeit den gesamten Beweis hier niederzuschreiben halte ich aber nicht für sinnvoll. |
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