Extremwertsatz, Zwischenwertsatz und Nullstellensatz |
| 02.04.2017, 21:18 | TKD1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| Extremwertsatz, Zwischenwertsatz und Nullstellensatz Hallo Community, ich in neu hier, sry wenn ich was falsch geschrieben habe. ich muss ein Referat über die 3 Sätze halten, unzwar, Nullstellensatz, Extremwertsatz und Zwischenwertsatz und anschaulich darstellen. Stimmt das bis jetzt, was ich hier geschrieben habe? Könnt ihr mir dann konkrete Funktionen sagen und warum bzw. wie formuliere ich das in Worten? Ich bedanke mich im Voraus für eure Hilfe und Bemühungen ! 
Meine Ideen: Ich hab schon mal ein Beispiel zu den Zwischenwertsatz und Nullstellensatz vorbereitet. Ein Graph z.B. X-1 ist im Koordinatensystem aufgezeichnet und die X-Achse sind Straßennummern von 1 bis 5. Die Y-Achse enthalten die Buchstaben A bis E. Kann ich dann sagen, dass in dem abgeschlossenen Intervall [1;5] auch ein Buchstabe zwischen A bis G gibt ? Also das heißt, dass zwischen A1 und G5 auch die anderen dazugehörigen Funktionswerte existieren ? Da ja der Zwischenwertsatz aussagt, dass in einem abgeschlossenen Intervall von einer stetige Funktion jeden Y-Wert zwischen f(a) und f(b) mindestens eine Stelle X0 annimmt. Wenn ich jetzt vom, abgeschlossene Intervall [-5;5] ausgehe, dann gibt es ja einen negativen und positiven Funktionswert. Daraus ergibt sich doch, dass man mindestens eine Nullstelle hat oder? Beim Extremwertsatz kann ich dann sagen, dass ich z.B. eine Funktion 3. Grades nehme, in einem abgeschlossenen Intervall z.B. [-3;3] dann gibt es ja ebenfalls ein Maximum und Minimum, stimmt das? Also das Beispiel ist dass eine Klasse eine Wanderung macht und sie durch Gebirge und Täler laufen. Die Frage lautet dann, wie ich Maximum und Minimum sehen/berechnen kann. |
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| 03.04.2017, 14:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Extremwertsatz, Zwischenwertsatz und Nullstellensatz ? Die Tatsache, daß sich noch niemand auf deinen Thread gemeldet hat, zeigt mir, daß es selbst den Profis schwerfällt, zu deinen Fragen gute Antworten zu liefern. Ich versuche es mal.
Woher sollen wir das wissen? Wir haben das Thema des Referats nicht erhalten. 
Die Stetigkeit von Funktionen hat etwas damit zu tun, daß man den Abstand der Funktionswerte messen kann. Kannst du mir sagen, wie du den Abstand der Buchstaben A und E ausrechnen willst?
Hier zeigt sich ein generelles Problem: der unsaubere Umgang mit mathematischen Begriffen (vielleicht auch mit der deutschen Sprache). Gemeint ist hier der folgende Sachverhalt: Für eine auf dem Intervall [a; b] stetige Funktion f gilt: für jedes y_0 mit f(a) <= y_0 <= f(b) gibt es ein x_0 mit f(x_0) = y_0 .
Auch hier ist die Sprache unsauber. Wenn ich die Funktion f(x) = x² + 1 auf dem Intervall [-5;5] betrachte, dann hast hat sie da keine einzige Nullstelle. Das steht im Gegensatz zu dem, was du formulierst.
Meinetwegen kann man das als Beispiel für den Extremwertsatz nehmen. Für die Berechnung der Extremwerte benötigt man zusätzliche Methoden, wie z.B. die Differentialrechnung. |
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| 03.04.2017, 19:05 | TheBeast1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
| RE: Extremwertsatz, Zwischenwertsatz und Nullstellensatz ? Hallo Klarsoweit! Ich entschuldige mich, wenn ich mich falsch und missverständlich ausgedrückt habe. :O Der Abstand der Y-Werte von A bis E beträgt 1 cm und die X-Achse von 1 bis 5 beträgt ebenfalls 1 cm. Kann ich dann sagen, wenn a = 1 ist, dann ist f(a) = A b = 5 und f(b) = E Zwischen f(a), also A und f(b), also E gibt es zu jedem Y-Wert, also B bis D, einen X-Wert, also 2 bis 4. Wenn ich die stetige Funktion f(x)=X-1 beibehalte, aber den X-Wert auf -5 erweitere, d.h. [-5;5] und dieses Intervall in die stetige Funktion einsetze, dann bekomme ich f(-5)= -6 und f(5)= 4. Kann ich dann daraus ableiten, dass f(a) <0 und f(b)>0 einen Sonderfall von dem Zwischenwertsatz ist und daraus resultiert dann der Nullstellensatz, da sie ja die Voraussetzungen für den Nullstellensatz erfüllen. |
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| 04.04.2017, 08:57 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: Extremwertsatz, Zwischenwertsatz und Nullstellensatz ?
Nun ja, auch dieser Satz fällt in diese Kategorie:
Aber sei's drum. Das Problem mit deinem Beispiel ist: ich verstehe es nicht. Was soll das für eine Funktion sein, die Zahlen auf Buchstaben abbildet? Rein formal mag es das geben. Aber wie sieht zum Beispiel die allgemeine Funktionsvorschrift aus? Oder werden da nur endlich viele Urbilder auf endlich viele Bilder durch Aufzählung der einzelnen Urbild-Bild-Paare abgebildet? Oder stehen die Buchstaben für Punkte in einem Koordinatensystem? Vielleicht hast du ja auch eine ordentliche Funktionsvorschrift wie zum Beispiel bei der von dir genannten Funktion f(x) = x-1 . Damit wird aber nicht auf Buchstaben oder Punkte in einem Koordinatensystem abgebildet, sondern damit wird jedem x-Wert aus dem Definitionsbereich ein y-Wert aus dem Wertebereich (z.B. den reellen Zahlen ) zugeordnet. Die sich daraus ergebenden Urbild-Bild-Paare (x, y) bzw. (x, f(x)) kann man dann durch Punkte in einem Koordinatensystem visualisieren. Diese Punkte sind aber nicht die Funktionswerte der Funktion, sondern Punkte des zur Funktion gehörenden Funktionsgraphen. Wenn du nun die Funktion f(x) = x-1 auf dem Intervall [-5; 5] betrachtest, so ist in der Tat f(-5) = -6 < 0 und f(5) = 4 > 0 und aufgrund der Stetigkeit der Funktion und aufgrund des Zwischenwertsatzes muß die Funktion innerhalb des Intervalls eine Nullstelle haben. |
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