Streit im Quadrat

03.04.2017, 16:20

Dopap

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Streit im Quadrat

Im Stile vom "mad max" bekriegen sich die Anführer zweier Gangs mit umgebauten Schrottkisten immer wieder. Die "Fahrzeuge" haben oben ein Stange an der eine Trefferplatte befestigt ist, sowie eine Bolzenkanone für einen Schuss und rasen mit konstanter Geschwindigkeit in der Einheitszeit aufeinander zu. Irgendwann schießt einer zuerst bevor die Wagen sich begegnen.

Wer zuerst schießt und trifft hat gewonnen, Wert = + oder -1
Im Fahrzeug kann man nicht erkennen ob der Gegner geschossen hat.
Auch der spätere Schütze kann noch treffen.
Die Trefferwkt nimmt linear von 0 auf 100 % während der Einheitszeit zu.
Trifft keiner, dann gilt das als unentschieden=0

Der "acid-queen" störte der Dauerlärm und die Benzinverschwendung und entschied, dass der Sieger in einem einzigen Spiel ermittelt wird:

Beide überlegen sich über Nacht eine gemischte Strategie sprich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Einheitsintervall, G und H genannt um im Einheitsquadrat den Sieger zu ermitteln.

Problem: die Simulation per TR ist ziemlich langsam und der Vorteil eines Spielers wenig signifikant wenn die Strategien ausreichend gut sind. Also muss

$\begin{eqnarray*} J=\int_0^1\,\int _0^1 \, a(x,y) \frac {\partial}{\partial x}G(x) \frac {\partial}{\partial y}H(y) \,\dd y \,\dd x \end{eqnarray*}$ bestimmt werden.

1.) das firmiert doch unter Stieltjes Integral ?

Die Auszahlungsfunktion ist a(x,y). siehe oben.

2.) Was ist zu tun, wenn G und/oder H teildefiniert sind?? Ist das eine Faltung ?
Beispiel:

$\begin{eqnarray*} G(x) &=& \begin{cases} 0 & x \leq 0.4 \\ 5/3(x-0.4) & x > 0.4 \end{cases} \\ H(x)&=& x^2 \end{eqnarray*}$

bitte kein mathjax verwenden!

03.04.2017, 21:17

Huggy

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RE: Streit im Quadrat
Deine Frage ist mir unverständlich. Das ist doch ein ganz gewöhnliches Integral. Bei deinem Beispiel erhalte ich eine Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(G)=\frac {9001}{18750} \end{eqnarray*}$

dass der Spieler mit der Strategie G gewinnt und eine Wahrscheinlichkeit

$\begin{eqnarray*} P(R)= \frac {1}{10} \end{eqnarray*}$

für ein Remis. Der Rest ist die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn des Spielers mit der Strategie H.

03.04.2017, 22:52

Dopap

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RE: Streit im Quadrat

Zitat:

Original von Huggy
Deine Frage ist mir unverständlich. Das ist doch ein ganz gewöhnliches Integral. [...]

sehr erhellend.

04.04.2017, 07:43

Huggy

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RE: Streit im Quadrat

Zitat:

Original von Dopap
sehr erhellend.

Was willst du damit sagen?

04.04.2017, 13:10

Dopap

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RE: Streit im Quadrat
na ja, ein wenig Sarkasmus war schon dabei, aber schön wenn man überhaupt Antwort erhält. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ich habe da noch diverse Probleme aber eins nach dem anderen.

$\begin{eqnarray*} J=\int_0^1\,\int _0^1 \, a(x,y) \frac {\partial}{\partial x}G(x) \frac {\partial}{\partial y}H(y) \,\dd y \,\dd x \end{eqnarray*}$ scheint mir wenig sinnvoll.

$\begin{eqnarray*} J=\int_0^1\,\int _0^1 \, a(x,y) \bigg(g(x) + h(y) \bigg) \,\dd y \,\dd x \end{eqnarray*}$ schon eher, mit den Dichten g(x) und h(x):

$\begin{eqnarray*} g(x) &=& \begin{cases} 0 & x \leq 2/5\\ 5/3 & x > 2/5 \end{cases} \\ h(x)&=& 2x \end{eqnarray*}$

das würde mMn aufgespalten so lauten:

$\begin{eqnarray*} J=\int_0^{\tfrac 25} \,\int _0^1 \, a(x,y) (0 + 2y) \,\dd y \,\dd x +\int_{\tfrac 25}^1\,\int _0^1 \, a(x,y) (\tfrac 53+ 2y) \,\dd y \,\dd x \end{eqnarray*}$

ist das soweit o.k ?

-------------------------------------------
bitte kein mathjax verwenden

04.04.2017, 14:32

Huggy

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RE: Streit im Quadrat
Vorwort: Deine ursprüngliche Frage war, um was für eine Art Integral es sich bei deinem Integral handelt. Das ließ mich vermuten, du glaubst, dass das kein handelsübliches Riemannintegral ist und man es daher nicht mit den üblichen Integrationsregeln lösen kann. Dafür konnte ich keinen Grund sehen. Das erklärt meine Antwort. Jetzt hatte ich erwartet, dass du erklärst, weshalb du meinst, dass dein Integral kein Riemannintegral ist.

Dein neuer Ansatz ist nicht in Ordnung. Das Produkt der Dichten war korrekt. Ich erläutere einfach mal mein Vorgehen.

Ich vermute, $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ soll bei dir die Auszahlung sein. Das ist eine diskrete Zufallsgröße, die die Werte $\begin{eqnarray*} +1, 0, -1 \end{eqnarray*}$ annehmen kann. Ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion ist dann durch 3 Wahrscheinlichkeiten gegeben:

$\begin{eqnarray*} p_1=P(J=1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_0=P(J=0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_{-1}=P(J=-1) \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert von $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} E(J)=p_1 \cdot 1 + p_0 \cdot 0 +p_{-1} \cdot (-1)=p_1-p_{-1} \end{eqnarray*}$

Nun vermute ich weiter, das $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ vor deinem Integral soll eigentlich $\begin{eqnarray*} E(J) \end{eqnarray*}$ sein. Meine Vermutungen hinsichtlich deiner Bezeichnungen mögen natürlich falsch sein. Dann solltest du aber selbstkritisch zugeben, dass du die Bedeutung von $\begin{eqnarray*} J \end{eqnarray*}$ nicht erklärt hast. Ebenso hast du nicht erklärt, was genau dein $\begin{eqnarray*} a(x,y) \end{eqnarray*}$ sein soll. Deine Dichten $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x) \end{eqnarray*}$ sind in Ordnung.

Ich komme jetzt zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ . Der Spieler $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ möge zur Zeit $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ schießen und der Spieler $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ zur Zeit $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ . Ich definiere dann mal $\begin{eqnarray*} a(x,y) \end{eqnarray*}$ als die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ unter dieser Bedingung gewinnt. Das unterscheidet sich ziemlich sicher von deiner Definition. Es ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} a(x,y)=x:\quad x<y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a(x,y)=(1-y)x:\quad x>y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p_1=\int\limits_0^1\int\limits_0^1 a(x,y)g(x)h(y)dydx \end{eqnarray*}$

Unter Beschränkung auf den relevanten Integrationsbereich ergibt sich

$\begin{eqnarray*} p_1=\int\limits_{2/5}^1 \left ( \int\limits_0^x a(x,y)g(x)h(y)dy + \int\limits_x^1 a(x,y)g(x)h(y)dy\right ) dx \end{eqnarray*}$

In die beiden inneren Teilintegrale kann man jetzt das jeweils relevante $\begin{eqnarray*} a(x,y) \end{eqnarray*}$ einsetzen und dann die Integrationen ausführen. Das führt zu dem schon von mir genannten $\begin{eqnarray*} P(G)=p_1 \end{eqnarray*}$ . Definiert man $\begin{eqnarray*} b(x,y) \end{eqnarray*}$ als die Wahrscheinkeikeit, dass unter den oben genannten Bedingungen der Spieler $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ gewinnt, so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} E(J)=\int\limits_0^1\int\limits_0^1 (a(x,y)-b(x,y))g(x)h(y)dydx \end{eqnarray*}$

Es ist allerdings transparenter, $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_{-1} \end{eqnarray*}$ separat zu berechnen und erst dann $\begin{eqnarray*} E(J) \end{eqnarray*}$ . Sorry, falls ich jetzt viel zu ausführlich geworden bin.

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04.04.2017, 15:38

Dopap

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Freude

genau um diese Antworten (!) wäre meine nächste Post gegangen.
Da lagen mir doch einige Dinge im Magen: a(x,y) ? , g+h ? , E(J) ?

Jetzt kann ich die Antworten erst mal in Ruhe studieren.

08.05.2017, 14:05

Dopap

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die Auszahlungsfunktion $\begin{eqnarray*} a(x,y) \end{eqnarray*}$ hat als Argumente $\begin{eqnarray*} x=G^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=H^{-1}(X) \end{eqnarray*}$ wobei

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ eine stetig gleichverteilte Zufallsgröße auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ ist.

$\begin{eqnarray*} G^{-1} \text{und} \,H^{-1} \end{eqnarray*}$ sind Umkehrfunktionen zu den Strategien (Verteilungsfunktionen) $\begin{eqnarray*} G,H \end{eqnarray*}$ der Spieler I und II .

$\begin{eqnarray*} a(x,y) \end{eqnarray*}$ ist symmetrisch d.h. $\begin{eqnarray*} a(y,x)=-a(x,y) \end{eqnarray*}$ soweit richtig?

Die Berechnung der Integrale ist aber wegen schlechtem handling von Papier und Bleistift schwierig.

Eine Simulation auf dem TR geht jedoch.

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Ich denke eine optimale Strategie gefunden zu haben die jede andere Strategie schlägt !!!

Würde dies gerne an geposteten Strategien testen.
Also: wer tritt an ? Big Laugh

Big Laugh

09.05.2017, 09:50

Huggy

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Zitat:

Original von Dopap
Die Berechnung der Integrale ist aber wegen schlechtem handling von Papier und Bleistift schwierig.

CAS-Rechner können doch integrieren!

Zitat:

Ich denke eine optimale Strategie gefunden zu haben die jede andere Strategie schlägt !!!

Das bezweifele ich. Es sollte bei diesem Spiel zu jeder gewählten Strategie eine Gegenstrategie existieren, die die gewählte Strategie schlägt. Die Situation scheint mir ähnlich zu den intransitiven Würfeln, bei denen es auch keinen besten Würfel gibt.

09.05.2017, 15:07

Dopap

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Die Situation ist die, dass beide vor dem Spiel ihre Strategie beim Spielleiter abliefern, und zwar ohne Kenntnis der jeweiligen anderen Strategie.

A.) Ich behaupte nun, dass meine Strategie in obigen Sinne optimal ist und gegen jede andere Strategie gewinnt !

B.) Ich behaupte weiter, dass meine Strategie auch dann nicht zu schlagen ist, wenn man Kenntnis von dieser Strategie erlangt hat. Also nix mit "Gegenstrategie"

sorry, hört sich ziemlich großspurig an, aber ein wenig "Pfeffer" kann nicht schaden.

Man könnte ja erst A.) und dann B.) testen smile

smile

09.05.2017, 16:06

Huggy

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A) Wenn es zu deiner Strategie eine Gegenstrategie gibt, die deine schlägt, könnte sie der Gegner ja zufällig verwenden. Und wenn deine Strategie gewinnt, bedeutet das noch nicht, dass es keine Gegenstrategie gibt. Sinnvoll ist also nur die Prüfung von B).

B) Wenn du deine Strategie nennst, kann ich ja mal schauen, ob ich eine Gegenstrategie finde oder nicht.

09.05.2017, 18:23

Dopap

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ungern

Augenzwinkern

mathematisch wird nicht gerundet, es zählen auch geringste Unterschiede.

o.k. , das gute Stück ist:

$\begin{eqnarray*} G(x) = \begin{cases} 0 & x \leq \frac 13\\ \frac {9x^2 -1}{8x^2}& sonst \end{cases} \end{eqnarray*}$

Meine Strategie vorher zu nennen ist nicht ganz fair aber muss wohl so sein.

10.05.2017, 09:16

Huggy

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Das ist wirklich eine interessante Strategie!

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, schlägt sie zwar keineswegs jede andere Strategie, aber es gibt tatsächlich keine andere Strategie, die diese schlägt. In dem Sinne kann man sie schon als die beste Strategie bezeichnen.

Wenn man als Gegenstrategie immer zu einem festen Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1/3\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ schießt, so ist nach meiner Rechnung immer $\begin{eqnarray*} E(J)=0 \end{eqnarray*}$ . Dass so etwas auftreten könnte, hatte ich bei meinen Plausibilitätsüberlegungen nicht in Betracht gezogen. Daraus schließe ich aber auch, dass jede Gegenstrategie mit einer Dichtefunktion, die nur im Intervall $\begin{eqnarray*} [1/3, 1] \end{eqnarray*}$ Werte größer $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ annimmt, ebenfalls zu $\begin{eqnarray*} E[J]=0 \end{eqnarray*}$ führt.

Woher hast du diese Strategie?
Selbst gefunden oder irgendwo aus der Literatur?

11.05.2017, 15:57

Dopap

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Ich hatte mir 1973 für ein Seminar in Spieltheorie ein Buch besorgt in dem die Strategie behandelt wurde.
In den vielen Jahren ohne Mathe ging das alles verloren wurde aber nicht vergessen!

Simulationen bestätigen - im Rahmen der Unsicherheit- deine Vermutungen.

Fazit: wer sich eine Strategie vorher ausdenkt kann nur auf ein Remis hoffen, aber mehr ist nicht drin.
Das erinnert mich ein wenig daran im Schach gegen Stockfisch oder Houdini anzutreten.

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Es gibt noch die Spielvariante in der nach jeder Runde die gewählten Zeiten x und y bekannt gegeben werden. Dies führt zum Thema Verhaltensstrategien die meistens kompakter sind.
Für Schach gibt es keine angebare Strategie*, aber genügend Literatur zu Verhaltensstrategien.

(*) für Mitleser: in einem solchen 2 Personen-Nullsummenspiel mit vollständiger Information ist ein Strategie eine Funktion die jedem Knoten im Spielbaum eine der Folgekanten zuordnet.
Angesichts von ca. $\begin{eqnarray*} {10}^{50} \end{eqnarray*}$ oder mehr Knoten ein aussichtsloses Unterfangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.05.2017, 16:17

Huggy

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Zitat:

Original von Dopap
Ich hatte mir 1973 für ein Seminar in Spieltheorie ein Buch besorgt in dem die Strategie behandelt wurde.

Kannst du mr das Buch nennen?

Zitat:

Simulationen bestätigen - im Rahmen der Unsicherheit- deine Vermutungen.

Eine Vermutung war das nur, weil mir ja bei der Aufstellung der Integrale ein Fehler passiert sein könnte. Die Auswertung der Integrale hatte ich mit Mathematica geprüft.

Ich möchte dir für diese Fragestellung danken. Ich habe mich mit Spieltheorie nur im Rahmen von GMV (Gesunder Menschenverstand) beschäftigt. Aber solche Fragen haben immer mein besonderes Interesse gefunden.

14.05.2017, 18:52

Dopap

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Ich krieg den Keller die Woche aufgeräumt. Mal sehen...

Bis dahin :

Variante des Spieles:

es wird "scharf" geschossen. Die Mündungsflammen sind sichtbar. Für eine Reaktion bleibt aber keine Zeit. Wird der gegnerische Spieler nicht getroffen , dann kann dieser in Ruhe das Ende der Einheitszeit abwarten um zu schießen und zu treffen.

Wie schaut es hier mit einer optimalen Strategie aus ?

23.05.2017, 16:30

Dopap

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etwas kompliziert aber letztendlich:

G. Owen
Spieltheorie
Springerverlag ?

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