Eigenwerte und Eigenvektoren

03.04.2017, 21:39

Mathe2017

Eigenwerte und Eigenvektoren

Meine Frage:
Hallo,

Das Thema ist sehr neu für mich und jetzt habe ich ein paar Fragen zu folgenden Aufgaben:

1) Ermittele das charakterist.Polynom der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und berechne p(A)

2)Bestimmen Sie zu einer 3x3 Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0,5 & 0 & 0,5 \\ 0,5 & 0,5 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit Eigenwert -0,5 alle Eigenvektoren!

Es habe es schon sehr lange probiert, deshalb wäre ich über eure Hilfe sehr dankbar smile

Dankeschön

Meine Ideen:
zu 1)für das charakteristische Polynom bekomme ich x^2-2x-8 raus (stimmt das?)
dann habe ich versucht, in die Formel p(A)=(A-E)^2-9E einzusetzen, da habe ich jetzt aber meine Probleme:

Ich habe dafür gerechnet: (A-E)^2 und da komme ich auf das Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Wenn ich davon jetzt 9 mal E abziehe komme ich zu der Rechnung: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und da kommt jetzt überall 0 raus...also da wird was nicht stimmen unglücklich

2) Hier habe ich die Matrix mal Vektor (x,y,z) multipliziert und gleich 0 gesetzt. Da habe ich 3 gleiche Gleichungen rausbekommen (0,5x+0,5y+0,5z=0). Jetzt habe ich schon den Tipp bekommen, dass ich bei Eigenvektoren meinen y und meinen z Wert frei wählen kann und x ergibt sich dann aus (-y-z). Ist das so richtig?

EDIT: Latex-Tags ergänzt (klarsoweit)

03.04.2017, 21:52

Helferlein

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Die erste hatte wir doch vor wenigen Tagen schon fast gelöst. Wieso postest Du sie dann noch einmal ? verwirrt

Neu ist eigentlich nur die Berechnung von p(A) und da stellt sich die Frage, wieso Dich die Null als Ergebnis stört? Was spricht dagegen?

Zur zweiten: ja, das ist richtig und sollte nicht verwundern. Du hast ja selber die Gleichung x+y+z=0 herausbekommen und die ergibt umgeformt nun einmal x=-y-z. Weitere Bedingungen gibt es ja nicht.

04.04.2017, 12:18

Mathe2017

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Wie du siehst, hast du mir aber leider nicht zum richtigen Rechenweg geholfen und so wollte versuchen, ob mir jemand anderer besser helfen kann.

Gut das charakt.Polynom habe ich nun, aber wie man richtig einsetzt, bzw. was letztlich rauskommen soll, haben wir noch nicht besprochen. verwirrt

Ich habe jetzt selber einen Fehler schon erkannt:
Ich habe nämlich geschrieben
zu p(A): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} ^2 \end{eqnarray*}$ ergibt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
richtig lauten müsste es aber: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also komme ich jetzt auf das Ergebnis $\begin{eqnarray*} p(A)=\begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} -9*E = \begin{pmatrix} -9 & 9 \\ 9 & -9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Stimmt das jetzt so?

EDIT: Latex-Tags gesetzt (klarsoweit)

04.04.2017, 12:55

klarsoweit

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Was das Setzen der Latex-Tags angeht, bist du ja anscheinend beratungs-resistent. unglücklich

Zitat:

Original von Mathe2017
zu 1)für das charakteristische Polynom bekomme ich x^2-2x-8 raus (stimmt das?)

Ja.

Zitat:

Original von Mathe2017
Ich habe nämlich geschrieben
zu p(A): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix} ^2 \end{eqnarray*}$ ergibt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9 & 0 \\ 0 & 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Korrekt.

Zitat:

Original von Mathe2017
richtig lauten müsste es aber: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 9 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wer sagt das? verwirrt

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