Hurwitz-Kriterium |
04.04.2017, 11:47 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hurwitz-Kriterium ich brauche mal Hilfe bei der Aufgabe. Folgendes habe ich schon gemacht: 1. Das cahrakt. Polynom: Mit der pq Formel ergeben sich dann ja 2 Eigenwerte: Da ja folgendes gilt: Spur Determinante habe ich die Eigenwerte nochmal übersichtlicher geschrieben: Jetzt weiß ich leider nicht mehr so richtig weiter. Damit die Eigenwerte reell bleiben, muss der Radikand ja positiv bleiben, also muss gelten: Ich hoffe ihr könnt mir helfen |
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05.04.2017, 08:04 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich schätze, du wirst eine Fallunterscheidung brauchen. Im 1. Fall ist , und beide Eigenwerte sind reell, im 2. Fall ist , und beide Eigenwerte sind nicht reell. Ich beginne mit dem 1. Fall: Die Eigenwerte sind Wenn beide Werte negativ sind, gilt insbesondere , also Links in der letzten Ungleichung steht eine reelle Zahl . Die Ungleichung kann daher nur gelten, wenn ist, womit der eine Teil der Behauptung gezeigt ist. Da beide Seiten der Ungleichung jetzt nichtnegativ sind, darf sie quadriert werden: , woraus sich , also ergibt. Und jetzt mußt du den 2. Fall durchgehen. Und dann auch noch die umgekehrte Beweisrichtung in beiden Fällen. |
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05.04.2017, 10:49 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke schonmal für deine Antwort
Muss man hier nicht noch den Fall für untersuchen also ? |
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05.04.2017, 13:25 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, muß man nicht. Im übrigen gilt aber Es können daher nur dann beide Werte negativ sein, wenn schon der größere der Werte negativ ist. |
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05.04.2017, 16:13 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay stimmt das ergibt Sinn. Für den Fall: : weiß ich leider gar nicht richtig wie ich anfangen soll. Meine Idee für die Determinante: Wenn ich die Ungleichung umforme muss ja gelten: Da immer positiv ist, muss auch D immer positiv sein, damit die Gleichung erfüllt ist. Bei der Spur habe ich keine Idee. |
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05.04.2017, 18:48 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Im zweiten Fall sind die Lösungen Es geht nur um den Realteil. Der soll kleiner 0 sein: . Daraus folgt sofort: . Und das war es auch schon. Manchmal sind die Dinge so einfach, daß man nicht an den eigenen Erfolg glauben mag. Was du über gesagt hast, stimmt natürlich. Jetzt überlege dir auch die umgekehrten Beweisrichtungen. |
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05.04.2017, 19:09 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahh da hab ich viel zu kompliziert gedacht Meinst du mit den umgekehrten Beweisrichtungen, dass man die 4 Möglichkeiten abarbeitet, also z.B. D und S < 0 oder D > 0 und S < 0 etc. ? |
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05.04.2017, 19:26 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wir haben jetzt gezeigt: Jetzt mußt du noch zeigen: |
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05.04.2017, 20:00 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay ich versuche mal für den 1. Fall also a): Das ist klar da ist , also brauche ich eigentlich nicht weiter prüfen oder? b) : auch hier ist , da c) : hier ist auch klar, dass d) : hier ist , da und , da und wäre damit der 1. Fall erledigt? |
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06.04.2017, 08:29 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wozu a),b),c)? |
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06.04.2017, 10:23 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich dachte weil man zeigen soll, dass die Eigenwerte genau dann kleiner 0 sind, wenn S < 0 und D > 0 oder ist das unnötig und es reicht nur d) zu zeigen? Sind die Beweise (bzw. d)) denn richtig? |
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06.04.2017, 15:09 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aber haben wir doch bereits. |
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06.04.2017, 17:30 | Oggel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stimmt also würde d reichen. und für den 2. Fall ist doch eigentlich klar, wenn S < 0, dann ist auch der Realteil beider Eigenwerte < 0 oder? |
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