Zeige f ist konstant

05.04.2017, 17:46	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige f ist konstant Hallo Forum, ich komme bei folgenden Beispiel nicht wirklich weiter: Sei $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ holomorph auf der offenen Einheitskreisscheibe $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ , stetig auf $\begin{eqnarray} clos(\mathbb{D}) \end{eqnarray}$ und auf $\begin{eqnarray} \partial\mathbb{D} \end{eqnarray}$ nehme $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur reelle Werte an. Zeige $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist konstant. Was mir bisher eingefallen ist: Nach dem Maximumsprinzip muss gelten: $\begin{eqnarray} sup_{z\in\mathbb{D}} \|f(z)\|=max_{z\in{\partial\mathbb{D}}}\|f(z)\| \end{eqnarray}$ Und weil $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ holomorph ist, sind die Werte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf dem Inneren der Einheitskreisscheibe eindeutig bestimmt durch die Werte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf dem Rand. Damit muss $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ aber im Inneren wohl nicht auch nur reell sein oder? Denn könnte man irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ nur reelle Werte annimmt, folgt aus einem Korollar in meinem Skript, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ dann konstant sein muss. Ein anderer Weg wäre zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} f' \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ verschwindet, dann wäre $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auch konstant.
06.04.2017, 12:39	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, kennst du das Maximumsprinzip für harmonische Funktionen?
06.04.2017, 15:42	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, der eine Teil ist die Gleichung die ich schon aufgeschrieben habe und weiters gilt noch, dass wenn das Maximum im Inneren (in meinem Fall in $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ ) angenommen wird, ist die Funktion konstant. Aber was fange ich damit an?
06.04.2017, 15:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Imaginärteil von f ist harmonisch. Kommst du damit dann weiter?
06.04.2017, 16:34	Kegorus	Auf diesen Beitrag antworten »
Nice, vielen Dank! Also ich habs jetzt so gemacht: $\begin{eqnarray} f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ ist holomorph in $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ , es gelten dort also die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen: $\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \end{eqnarray}$ Ableiten der ersten Gleichung nach y und der zweiten nach x und anschließendes Gleichsetzen zeigt, dass $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} \mathbb{D} \end{eqnarray}$ harmonisch ist. Nach dem harmonischen Maximumsprinzip nimmt $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ sein betragsmäßiges Maximum auf $\begin{eqnarray} \partial\mathbb{D} \end{eqnarray}$ an. Dort ist $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ aber ident 0. Daher ist $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} clos(\mathbb{D}) \end{eqnarray}$ gleich 0. Daher ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} clos(\mathbb{D}) \end{eqnarray}$ reellwertig. Harmonische Funktionen, die nur reellwertig sind, sind konstant (sieht man auch an den CR Differentialgleichungen). Also ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} clos(\mathbb{D}) \end{eqnarray}$ konstant.
06.04.2017, 21:48	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, sehr schön!
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