Newton-Verfahren: Für welche Startwerte konvergiert es gegen eine Nullstelle

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Paulina_nana Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren: Für welche Startwerte konvergiert es gegen eine Nullstelle
Meine Frage:
Hallo smile

ich beschäftige mich gerade mit dem Newton-Verfahren und habe Probleme mit folgender Aufgabenstellung:

Geben Sie (mit Beweis) an, für welche Startwerte die durch das Newton-Verfahren definierte Folge konvergiert.

Gibt es eine allgemeine Vorgehensweise, wie ich die Startwerte bestimmen und die Konvergenz beweisen kann?

Meine Ideen:
In der Vorlesung hatten wir folgenden Satz dazu:

Die Funktion f habe die Nullstelle x* und sei in einer Umgebung von x* stetig differenzierbar. Die Jacobimatrix J(x*) sei invertierbar. Dann gibt es eine Umgebung von x* in der das Newtonverfahren für alle Startvektoren gegen x* konvergiert.

Nun ist der Satz ja nicht sehr konstruktiv. Wie soll ich denn die jeweilige Umgebung bestimmen?

Vielen Dank für jede Hilfe! smile
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren: Für welche Startwerte konvergiert es gegen eine Nullstelle
Hallo,

kann es sein, dass Du nicht die vollständige Aufgabenstellung gepostet hast?

Gruß pwm
 
 
Paulina_nana Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo smile ja das stimmt, da ich dachte dass dieser Typ Aufgabenstellung öfter vorkommt und es vielleicht einen allgemein gültigen Lösungsweg dazu gibt.. habe jetzt etwas gegoogelt und musste feststellen, dass das wohl nicht so ist..

Die gesamte Aufgabenstellung ist habe ich nun als Anhang hinzugefügt. Wie könnte man denn hier vorgehen?
PWM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Du kennst die geomtrische Interpretation des NV? (Tangentengleichung ....)

Mach Dir eine Skizze von f und kläre die Frage zunächst grafisch.

Gruß pwm
Paulina_nana Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die kenne ich. Graphisch würde ich sagen, dass das Newton-Verfahren für alle Startwerte x >0 gegen die postive Nullstelle konvergiert. Aber wie zeige ich das?
Wir hatten als konstruktiven Satz für die Konvergenz eigentlich nur den Banachschen Fixpunktsatz..Überführe ich die Aufgabe dann in ein Fixpunktproblem und zeige die Konvergenz mit dem Banachschen Fixpunktsatz?
005 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese ganzen Saetze da enthalten nur hinreichende, aber keine notwendigen Bedingungen. Der maximale Konvergenzbereich ist meistens viel groesser und haengt ganz konkret von der Funktion f ab.

Soll heissen, Du musst fuer Dein konkretes f die Iterationsgleichung aufstellen und die dann von Hand untersuchen. Irgendwelche Saetze, mit denen Du die Aufgabe erschlagen koenntest, gibt es nicht.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, für die schon annehmbar große Klasse der (zumindest intervallweise) konvexen monotonen Funktionen lässt sich schon was zurechtbasteln, was natürlich auch unter die von 005 erwähnten hinreichenden Kriterien fällt. Augenzwinkern
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