Ableitung Umkehrfunktion

06.04.2017, 17:04	Jebee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung Umkehrfunktion Hallo, wenn ich eine funktion mit f(x) = 3x + 3x^3 gegeben habe. Und mir wird ein Punkt angegeben z. B. der x-Wert. Dann ist ja der x-Wert der Wert von der Umkehrfunktion und somit der y-Wert von der normalen Funktion. Ich habe ein Problem damit, wenn ich jetzt den y-Wert in die normale Funktion einsetze um den x-Wert zu bestimmen, weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll ? Mein Problem ist, das ich zwei x in der Gleichung habe und auch noch eins mit ^3
06.04.2017, 17:15	G060417	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung Umkehrfunktion $\begin{eqnarray} f(x)=y=3x^3+x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3x^3+x-y=0 \end{eqnarray}$ Mit der Cardano-Formel kannst du die Gleichung nach x auflösen. Dann x und y vertauschen und ableiten.
06.04.2017, 17:25	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nur um einen einzelnen Punkt geht, gibt es eine Formel, in die Du nur einsetzen musst. Sie basiert auf der Ableitung beider Seiten der Identität $\begin{align} x=f^{-1}\left(f(x)\right) \end{align}$ .
06.04.2017, 17:35	Jeebee	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja aber wenn ich einen x-Wert gegeben hab dann ist es ja der x-Wert von der Umkehrfunktion und in der Aufgabenstellung steht das x=f−1(f(x)) nicht benötigt wird. wie meinst du das ? Ich weiß das Die Ableitung der Umkehrfunktion der Kehrwert von 1 durch die Ableitung der normalen Funktion ist.
06.04.2017, 17:59	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wird es auch nicht, wenn ihr die Formel schon einmal hergeleitet habt oder sie als bekannt voraussetzen dürft. Anwendung der Kettenregel mit anschließender Umformung führt auf $\begin{align} \left(f^{-1}\right)'\left(f(x)\right)=\frac1{f'(x)} \end{align}$ . Wenn Du nun den x-Wert kennst, kannst Du damit $\begin{align} f(x) \end{align}$ und $\begin{align} f'(x) \end{align}$ bestimmen, was Dich schließlich zu einer Aussage über die Umkehrfunktion bringt.
06.04.2017, 19:53	Jebee	Auf diesen Beitrag antworten »
sorry, aber ich weiß jetzt echt nicht was du meinst. wenn ich folgende funktion gegeben habe. f(x) = 3x + 3x^3. Und es ist noch ein Punkt gegeben. Zum Beispiel x = 2 Dann soll ich durch einsetzen des Punktes die Ableitung der Umkehrfunktion bestimmen. Der gegebene x-Werte müsste ja der x-Wert von der Umkehrfunktion sein. Also heißt es im Umkehrschluss, dass dieser y-Wert der Wert von meiner gegebenen Funktion ist. und wenn ich $\begin{eqnarray} f^-1(x) = 1/ f`(x) \end{eqnarray}$ als bekannt voraussetze Weiß ich nicht wie ich die Aufgabe lösen soll Könntest du mir das bitte einfach erklären was du mit deiner letzten Antwort gemeint hast?
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06.04.2017, 20:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn x=2 ist, dann ist doch wohl $\begin{align} f(2)=3\cdot 3+3\cdot 3^3=9+81=90 \end{align}$ und $\begin{align} f'(2)=3+9\cdot 3^2=3+81=84 \end{align}$ . Somit erhältst Du $\begin{align} (f^{-1})'(90)=? \end{align}$
06.04.2017, 21:00	Jebee	Auf diesen Beitrag antworten »
müsste dan 1/84 sein oder ?
06.04.2017, 23:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
richtig und mehr lässt sich mit dieser Formel nicht aussagen.

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