Funktionenfolge

07.04.2017, 20:52

Lucycupcake

Funktionenfolge

Meine Frage:
Hey könnte mir da vielleicht jemand weiter helfen ich habe seit langer Zeit mich nicht mehr mit Ana befasst und habe Schwierigkeiten wieder ins Thema zu kommen.

Meine Ideen:
Zunächst habe ich mir Gedanken über die Aufgabe gemacht ob sie überhaupt stimmen und zu Aufgabe a kam ich zum Entschluss das sie stimmen müsste und es versucht in Verbindung mit der Stetigkeit zu zeigen, wir wissen ja nach dem Satz von maxima und Minima dass jede Funktion auf einem kompaktem Intervall stetig ist und wenn ich zeige , dass fn stetig ist und f dann ebenso könnte ich denn folgern das somit Fn beschränkt ist und ebenso f ? Jedoch scheint mir das nicht plausibel zu klingen denn mir fällt ein Gegenbeispiel ein dass wenn Fn stetig ist die Funktion f nicht stetig sein muss
Bei den anderen teilaufgaben kam ich leider noch nicht weiter bzw. mir fiel nichts ein

07.04.2017, 21:43

10001000Nick1

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RE: Funktonenfolge

Zitat:

Original von Lucycupcake
und es versucht in Verbindung mit der Stetigkeit zu zeigen, wir wissen ja nach dem Satz von maxima und Minima dass jede Funktion auf einem kompaktem Intervall stetig ist

Das sagt dieser Satz ganz sicher nicht. (Einfaches Gegenbeispiel $\begin{eqnarray*} g: [-1,1]\to\mathbb R, x\mapsto \begin{cases} 0 & x<0 \\ 1 & x\geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$ )
Die Aussage dieses Satzes ist: Eine auf einer kompakten Menge stetige Funktion nimmt ihr Minimum und Maximum an. (Stetigkeit muss also vorausgesetzt werden.)

Zitat:

Original von Lucycupcake
Jedoch scheint mir das nicht plausibel zu klingen denn mir fällt ein Gegenbeispiel ein dass wenn Fn stetig ist die Funktion f nicht stetig sein muss

Da wäre ich mal gespannt, welches das sein soll: Die Grenzfunktion einer gleichmäßig konvergenten Folge stetiger Funktionen ist nämlich wieder stetig.

Wie auch immer, die Stetigkeit der $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ ist in a) nicht gegeben, also darfst du sie auch nicht voraussetzen. Du kannst die Aussage direkt mit der Definition gleichmäßiger Stetigkeit zeigen.

Für b) denke an die Dirichlet-Funktion $\begin{eqnarray*} q: [0,1]\to\mathbb R, x\mapsto \begin{cases} 1 & x\in\mathbb Q \\ 0 & x\not\in\mathbb Q \end{cases} \end{eqnarray*}$ . Diese ist nirgends stetig. Vielleicht kannst du dir mit dieser Funktion ein Gegenbeispiel basteln.

Und bei c) braucht man, wenn ich das richtig sehe, nur die schwächere Voraussetzung, dass die $\begin{eqnarray*} f_n \end{eqnarray*}$ alle stetig sind. Kennst du den Satz von Heine? Damit kannst du die Aussage zeigen.

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