Verteilung Quadratsumme

08.04.2017, 15:21	Berni91	Auf diesen Beitrag antworten »
Verteilung Quadratsumme Hallo, $\begin{eqnarray} X \sim (\mu, \Sigma) \end{eqnarray}$ folgt einer mutivariaten Normalverteilung. $\begin{eqnarray} \widehat{\Sigma} \end{eqnarray}$ bezeichne die empirische Kovarianzmatrix (welche wir kennen) , $\begin{eqnarray} \Sigma = LL^{T} \end{eqnarray}$ bezeichnet die Zerlegung in Ladungsmatrizen. Möchten wir $\begin{eqnarray} \Sigma \end{eqnarray}$ schätzen, so begehen wir einen Fehler $\begin{eqnarray} \Delta \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} \widetilde{\Sigma} \approx LL^{T} + L \Delta^{T} + \Delta L^{T} \end{eqnarray}$ Die empirische Kovarianzmatrix unterscheidet sich von der 'wahren' natürlich auch also $\begin{eqnarray} \widehat{\Sigma} = LL^{T} + K \end{eqnarray}$ wobei K nun darstellbar sein soll als $\begin{eqnarray} K = \widehat{\Sigma}^{1/2} T \widehat{\Sigma}^{1/2} \end{eqnarray}$ wobei die Einträge von T normalverteilt sind (die Zerlegung von K rührt vermutlich aus der Singulärwertzerlegung und T hat deswegen normalverteilte Einträge, da für hinreichend großes n gleichverteilte Größen nach dem zentralen GWS näherungsweise normalverteilt sind -- ist die Idee dazu richtig? ) die Minimierung von $\begin{eqnarray} (\widehat{\Sigma} - \widetilde{\Sigma})^2 \end{eqnarray}$ sollte auf einen speziellen Fall der Chi-Quadrat-Verteilung führen ... dazu müsste die Differenz normalverteilt sein -- nun meine Frage : Genügt es zu wissen, dass $\begin{eqnarray} \widehat{\Sigma}^{1/2} T \widehat{\Sigma}^{1/2} \end{eqnarray}$ normalverteilt ist ? Ist es das überhaupt ? LG

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