Bijektiv zeigen

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mfgr23 Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektiv zeigen
Meine Frage:
Hallo alle zusammen. Wie zeigt man am besten das die Funktionen sinh und Cosh Bijektiv sind ?



Meine Ideen:
Ich würde jetzt raten und sagen das ich zeigen muss das es eine Umkehrfunktion gibt wenn es die gibt ist die auch bijektiv.
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RE: Bijektiv zeigen
Beim sinh geht es einfach über die Ableitung. Beim cosh in der Allgemeinheit gar nicht, weil der auf dem maximalen Defbereich gerade und damit überhaupt nicht bijektiv ist.
mfgr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektiv zeigen
Also was meinst du genau über die Ableitung?
Ich wüsste jetzt nur das wenn f '(x) > 0 oder f '(x) <0 ist die Funktion Streng Monoton ist und das heißt die Funktion ist Injektiv somit wäre die Injektivität gezeigt aber die Surjektivität ? verwirrt

Also Cosh soll ich im Intervall (0, unendlich) --> (1, unendlich) betrachten-
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RE: Bijektiv zeigen
Hat man die strenge Monotonie, kann man sich leicht den kleinsten und größten Funktionswert beschaffen und den Rest erledigt der Zwischenwertsatz. Übrigens hängt die Richtigkeit der Behauptung auch hier vom Definitions- und Wertebereich ab - den du noch immer verschweigst.
Beim cosh argumentiert man analog.
Mfgr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektiv zeigen
Die aufgabe habe ich jetzt als Link hinzugefügt.
Also ich versuche es mal die ableitung von Sinh(x) = Cosh(x)

Und der Wertebereich von Cosh(x) ist >0 also können wir schonmal festhalten das Cosh Streng Monoton ist.

Und das heisst nichts anderes als das Sinh(x) Injektiv ist und nun zu Surjektivität womit ich allerdings Probleme habe...
mfgr Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bijektiv zeigen
Die Surjektivität sieht man ja auch schon Im intervall wo es abgebildet wird oder nicht verwirrt

Da Sinh von R nach R geht muss es ja Surjektiv sein und Cosh auch..
 
 
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RE: Bijektiv zeigen
Der Reihe nach: Die Schreibweise bedeutet, dass für immer definiert ist und zudem gilt. Damit ist ganz und gar nicht ausgesagt, dass es zu jedem auch ein mit gibt.
Beispiel .
Daraus ergibt sich auch unmittelbar, dass das eine andere Funktion sein muss als .
Die zweite Funktion ist surjektiv, die erste ist es nicht.
Bei der Funktionsdefinition kommt es also sehr wohl auf ihren Definitionsbereich (oben ) und ihre Zielmenge (oben ) an. Nur wenn man beide MEngen kennt, kann man über Surjektivität oder Injektivität reden.

Jetzt zur Aufgabe: Da du ohnehin die Umkehrfunktionen angeben musst, würde ich das tun. Damit ist dann die Bijektivität gezeigt.
RomanGa Auf diesen Beitrag antworten »
sinh(x)
y = sinh(x) = ½ * (e^x – e^(-x)), D = R, W = R, ist bijektiv.
Definitionsbereich = Menge der reellen Zahlen. Wertebereich = Menge der reellen Zahlen.
Beweis Injektivität: y’ = cosh(x) > 0 für alle x. Also ist sinh streng monoton wachsend.
Beweis Surjektivität: sinh(x) geht gegen -&#8734; für x gegen -&#8734;. sinh(x) geht gegen +&#8734; für x gegen +&#8734;.
Damit ist sinh(x) bijektiv.
Ableitung der Umkehrfunktion: Siehe Bild. Ich bitte die schlechte Qualität zu entschuldigen. Hast du dazu noch Fragen?
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