Newton-Verfahren: Hesse-Matrix / Jacobimatrix

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Paulina_nana Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren: Hesse-Matrix / Jacobimatrix
Meine Frage:
Hi,

ich habe eine Verständnisfrage zur Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens.
In meinem Skript wird die Iterationsvorschrift wie folgt gegeben:



wobei D die Jacobi-Matrix ist.

Nun habe ich gesehen, dass die Iterationsvorschrift in fast allen Skripten/Büchern mit der Hesse-Matrix und dem Gradienten definiert wird
als

.



Meine Ideen:
Ich meine zu wissen, dass die Hesse-Matrix = Jacobi-Matrix des Gradienten ist.. ist damit die Gleichwertigkeit der beiden Schreibweisen gewährleistet? Oder woher kommen die verschiedenen Schreibweisen?

Weiter habe ich Probleme mit dem globalisierten Newton-Verfahren. In anderen Skripten finde ich als Abbruchkriterium [latex] ||gradf(x_{k})|| < e [\latex].
Wie lautet denn das Abbruchkriterium in der Schreibweise mit der Jacobi-Matrix?

Wäre sehr froh wenn mich hier jemand darüber aufklären könnte! Danke smile
Krombopulus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren: Hesse-Matrix / Jacobimatrix
Hallo,

Das Netwon Verfahren dient allgemein die Nullstelle einer n-dimensionalen Funktion f:R^n->R^n zu finden. Daher ist die erste Schreibweise allgemein gültig.

Die zweite Schreibweise kommt aus der Optimierung, wo das Newton Verfahren wahrscheinlich am häufigsten verwendet wird. Hier geht es darum ein Optimium einer Funktion die vom n dimensionalen ins eindimensionale abbildet zu finden (f:R^n->R).
Also sucht man einen Punkt x an dem der Gradient dieser Funktion null wird. Die Funktion f aus der ersten Schreibweise ist also gleich dem Gradienten (einer anderen Funktion) in der zweiten Schreibweise und wie du bereits richtig vermutet hattest ist die Hesse-Matrix die Jacobi Matrix des Gradienten.
In einem Skript/Buch über Optimierung, in dem das Newton Verfahren eigentlich immer auftaucht, wirst du daher meistens die zweite Schreibweise finden, welche letztlich eine Anwendung auf ein Optimierungsproblem darstellt.

Ein äquivalentes Abbruchkriterium für die erste Schreibweise wäre wenn |f|<eps ist. Allerdings würde ich mich da nicht festlegen genauso gut kann man Delta f oder Delta x heranziehen oder eine maximale Iterationsanzahl festlegen (verflucht mich doch ihr Mathematiker). Aber dies ist letztlich von der Anwendung/dem Nutzer abhängig.

Hoffentlich konnte ich helfen!
Viele Grüße!
 
 
Paulina_nana Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank! Das hilft mir sehr smile
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