Quadratische Formen

09.04.2017, 13:41	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadratische Formen Guten Tag zusammen. Folgende Aufgabe beschäftigt mich gerade.. Sei $\begin{align} V \end{align}$ ein endl.dim. VR über $\begin{align} \mathbb{K} \end{align}$ , indem $\begin{align} 2\neq 0 \end{align}$ gilt, und sei $\begin{align} Q: V \to \mathbb{K} \end{align}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{align} (i) \end{align}$ und $\begin{align} (ii) \end{align}$ äquivalent sind. $\begin{align} (i) \end{align}$ $\begin{align} \forall v\in V, \lambda\in\mathbb{K}: Q(\lambda v)= \lambda^2Q(v) \end{align}$ und die Abb $\begin{align} \beta_Q:V\times V \to \mathbb{K} \end{align}$ , $\begin{align} \beta_Q(v,w):= \frac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)) \end{align}$ ist bilinear. $\begin{align} (ii) \end{align}$ Es existiert eine Basis $\begin{align} \mathcal{B} \end{align}$ von V und eine symmetrische Matrix $\begin{align} A\in M_{n\times n}(\mathbb{K}) \end{align}$ , sodass gilt $\begin{align} \forall v\in V: Q(v)=[v]_{\mathcal{B}}^TA[v]_{\mathcal{B}} \end{align}$ $\begin{align} \underline{\text{''}\Rightarrow\text{''}} \end{align}$ Sei $\begin{align} \mathcal{B}=(b_1,\dots,b_n) \end{align}$ eine Basis von $\begin{align} V \end{align}$ . Es gilt $\begin{align} \beta_Q(v,v)=\frac{1}{2}(Q(2v)-2Q(v))=\frac{1}{2}(4Q(v)-2Q(v))=Q(v)=v^TAv \end{align}$ . Es soll also gelten: $\begin{align} \beta_Q(v,v)=v^TAv \end{align}$ . Und ab hier komme ich nicht wirklich weiter. Ich weiss, dass die Darstellungsmatrix einer Bilinearform definiert ist als $\begin{align} A_{ij}=\beta_Q(b_i,b_j) \end{align}$ , aber ich bin mir nicht sicher ob ich das hier so verwenden kann. Bei der Rückrichtung habe ich um ehrlich zu sein nicht wirklich eine Ahnung wie man das beweisen soll.. Hoffe mal jemand kann etwas helfen. Gruss Sito
09.04.2017, 14:38	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Quadratische Formen Du musst nur noch begründen, warum A symetrisch ist. Für die Rückrichtung ist Q durch $\begin{eqnarray} Q(v)=[v]_{\mathcal{B}}^TA[v]_{\mathcal{B}} \end{eqnarray}$ definiert. Damit ist $\begin{eqnarray} Q(\lambda v)= \lambda^2Q(v) \end{eqnarray}$ offensichtlich. Bleibt zu zeigen, dass die durch $\begin{eqnarray} \beta_Q(v,w):= \frac{1}{2}(Q(v+w)-Q(v)-Q(w)) \end{eqnarray}$ definierte Abbildung bilinear ist.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »