Konvergenz des Newton-Verfahrens

10.04.2017, 10:11

Katja_94

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Konvergenz des Newton-Verfahrens

Meine Frage:
Hallo, bei folgender Aufgabe weiß ich nicht genau wie ich vorgehen kann:

Gegeben sei die Funktion $\begin{eqnarray*} f : \mathbb R \Rightarrow \mathbb R ,<br /> f(x) = x / \sqrt{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass das (lokale) Newton-Verfahren für Startwerte $\begin{eqnarray*} | x_{0} | \geq 1 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert. Was passiert für $\begin{eqnarray*} | x_{0} | = 1 \end{eqnarray*}$ ?

Meine Ideen:
Zunächst habe ich die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens aufgestellt.
Mit $\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 / (\sqrt{x^2+1} * (x^{2}+1)) \end{eqnarray*}$ folgt also
$\begin{eqnarray*} x_{k+1} = x_{k} - (f(x_{k}) / f'(x_{k})) = -x_{k}^{3} \end{eqnarray*}$ .

Und $\begin{eqnarray*} g(x) = -x^{3} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} | x_{0} | < 0 \end{eqnarray*}$ gegen 0, für $\begin{eqnarray*} | x_{0} | > 1 \end{eqnarray*}$ geht g(x) gegen unendlich und für $\begin{eqnarray*} | x_{0} | = 1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion konstant -1.

Ist das die richtige Herangehensweise? Reicht das schon um zu zeigen, dass das Newton-Verfahren für Startwerte $\begin{eqnarray*} | x_{0} | \geq 1 \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert?

Danke!

10.04.2017, 10:27

klarsoweit

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RE: Aufgabe Konvergenz des Newton-Verfahrens

Zitat:

Original von Katja_94
Und $\begin{eqnarray*} g(x) = -x^{3} \end{eqnarray*}$ konvergiert für $\begin{eqnarray*} | x_{0} | < 0 \end{eqnarray*}$ gegen 0, für $\begin{eqnarray*} | x_{0} | > 1 \end{eqnarray*}$ geht g(x) gegen unendlich

Das ist etwas ungenau ausgedrückt. Gemeint ist, daß die rekursive Folge $\begin{eqnarray*} x_{k+1} = g(x_k) \end{eqnarray*}$ für |x_0| < 1 gegen Null konvergiert und für |x_0| > 1 divergiert.

Auch wenn das irgendwie offensichtlich ist, sollte das meines Erachtens auch bewiesen werden.

10.04.2017, 10:30

Katja_94

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Wenn es darum geht Konvergenz zu zeigen bin ich leider gar nicht gut unglücklich

unglücklich

Wie mache ich das denn hier am besten?

10.04.2017, 10:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Katja_94
und für $\begin{eqnarray*} | x_{0} | = 1 \end{eqnarray*}$ ist die Funktion konstant -1.

Wir reden hier über die Folge $\begin{align*} (x_n) \end{align*}$ , nicht die Funktion. Und die Folge ist auch nicht konstant, sondern sie alterniert:

Es ist $\begin{align*} x_n = (-1)^n \end{align*}$ für $\begin{align*} x_0=1 \end{align*}$ sowie $\begin{align*} x_n = (-1)^{n+1} \end{align*}$ für $\begin{align*} x_0=-1 \end{align*}$ , zusammengefasst $\begin{align*} x_n = (-1)^n\cdot x_0 \end{align*}$ für $\begin{align*} |x_0|=1 \end{align*}$ .

10.04.2017, 11:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Katja_94
Wenn es darum geht Konvergenz zu zeigen bin ich leider gar nicht gut unglücklich

unglücklich

Wie mache ich das denn hier am besten?

Beispielweise kannst du für 0 < x_0 < 1 zeigen, daß die Folge (x_k) monoton fällt und nach unten beschränkt ist. smile

smile

10.04.2017, 11:05

Katja_94

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Ja stimmt, natürlich. Hatte hier einen Denkfehler bzgl. des Betrages. Danke!

Wie beweise ich das jetzt aber formell?

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10.04.2017, 11:07

Katja_94

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Ah danke @klarsoweit smile

smile

Werde das gleich einmal versuchen smile

smile

10.04.2017, 11:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von klarsoweit
Beispielweise kannst du für 0 < x_0 < 1 zeigen, daß die Folge (x_k) monoton fällt und nach unten beschränkt ist. smile

smile

Du meinst da aber die Folge $\begin{eqnarray*} (|x_k|) \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2017, 12:11

Katja_94

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Hallo nochmal. Leider stehe ich immer noch auf dem Schlauch unglücklich

unglücklich

Wenn ich zeigen möchte dass die rekursive Folge monoton fällt für $\begin{eqnarray*} 0 < |x_{0}| < 1 \end{eqnarray*}$
muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_{k+1} \leq x_{k} \end{eqnarray*}$ oder?
Ich habe jetzt versucht einzusetzen: $\begin{eqnarray*} -x^{3}_{k} \leq -x^{3}_{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Das bringt mich aber irgendwie ja nicht wirklich weiter? Ich verstehe nicht wie ich hier mit dem Startwert und dem Betrag arbeiten muss.. verwirrt

verwirrt

Könnt ihr mich nochmal helfen?

10.04.2017, 13:03

klarsoweit

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Sorry, war mal wieder zu schnell. Du mußt (siehe Tipp von HAL 9000) die Folge $\begin{eqnarray*} (|x_k|) \end{eqnarray*}$ betrachten.

10.04.2017, 13:09

Katja_94

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Ich bin verwirrt.. Wie bestimme ich denn die Folge $\begin{eqnarray*} |x_{k}| \end{eqnarray*}$ aus der rekursiven Folge?

10.04.2017, 13:14

klarsoweit

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Na, ja. Es ist $\begin{eqnarray*} |x_k| = |-x_{k-1}^3| = |x_{k-1}|^3 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2017, 14:22

Katja_94

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Kann ich dann durch

$\begin{eqnarray*} |x_{k}| = |x_{k-1}|^{3} \leq |x_{k-1}| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 < |x_{k-1}| < 1 \end{eqnarray*}$

zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (|x_{k}|) \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist?

10.04.2017, 14:30

klarsoweit

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Ja.

smile

10.04.2017, 15:22

Katja_94

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Kann ich die Beschränktheit dann entsprechend durch
$\begin{eqnarray*} 0 \leq |x_{k-1}|^{3} = |x_{k}| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0 < |x_{k-1}| < 1 \end{eqnarray*}$ zeigen?

Und wie beweise ich formell, das die rekursive Folge für Startwerte > 1 divergiert?

Danke!! smile

smile

10.04.2017, 15:30

HAL 9000

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Man kann die Fälle $\begin{align*} |x_0|=1 \end{align*}$ und $\begin{align*} |x_0|>1 \end{align*}$ auch gemeinsam betrachten:

Aus $\begin{align*} |x_{k-1}|\geq 1 \end{align*}$ folgt sofort $\begin{align*} |x_k| = |x_{k-1}|^3 \geq 1 \end{align*}$ , und außerdem bewirkt $\begin{align*} x_k = -x_{k-1}^3 \end{align*}$ stets einen Vorzeichenwechsel - damit ist die Diverenz ja schon geklärt: Man wechselt in jedem Schritt von einem Wert aus $\begin{align*} [1,\infty) \end{align*}$ in $\begin{align*} (-\infty,-1] \end{align*}$ , und umgekehrt.

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