Anwendung Globalisiertes Newton-Verfahren

10.04.2017, 15:07

Katja_94

Meine Frage:
Hallo ich beschäftige mich zur Zeit mit dem globalisierten Newton-Verfahren. Im Skript haben wir dazu einen Algorithmus gegeben den ich als Datei angehängt habe.
Leider gibt es dazu im Skript gar kein Beispiel weswegen ich jetzt mal versucht habe eine Aufgabe dazu durchzurechnen.

Die Aufgabe ist folgende:

Gegeben $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} f(x) = x / \sqrt{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$

Berechnen Sie per Hand, ausgehend von $\begin{eqnarray*} x_{0} = 2 \end{eqnarray*}$ , zwei Schritte $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$
des globalisierten Newton-Verfahrens mit Schrittweitensteuerung (Armijo). Nutzen Sie die Parameter $\begin{eqnarray*} \rho = 10^{-8} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \beta = 0.5 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \sigma = 10^{-4} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p = 2,1 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich habe nun zunächst versucht das Nullstellenproblem in ein Minimierungsproblem umzuformen, indem ich $\begin{eqnarray*} F(x) = 1/2 f(x)^{T} f(x) \end{eqnarray*}$ gesetzt habe. Im eindimensionalen Fall entspricht dies ja $\begin{eqnarray*} F(x) = 1/2 f(x)^2 \end{eqnarray*}$ also erhalte ich $\begin{eqnarray*} F(x) = x^2 / 2(x^2+1) \end{eqnarray*}$ . Das Minimum von F(x) entspricht jetzt der Nullstelle von f(x) (NST bei 0).

Der Algorithmus arbeitet jetzt mit dem Gradienten von F(x) und der Jacobi-Matrix von f(x). Da dies im eindimensionalen beides der jeweiligen Ableitung entspricht habe ich schonmal die beiden Funktionen abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1 / (\sqrt{x^2+1} (x^2+1)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F'(x) = x / (x^{2}+1)^{2} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich wie im Algorithmus das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} f'(x) * d = - f(x) \end{eqnarray*}$ gelöst und $\begin{eqnarray*} d = -10 \end{eqnarray*}$

Damit habe ich nun die hinreichende Abstiegsbedingung geprüft
$\begin{eqnarray*} F'(x_{0})^{T} * d_{0} = F'(2)^{T} * -10 = -0,8 \leq -\rho * |d_{0}|^{p} = -10^{-8} * 10^{2,1} \end{eqnarray*}$ .

Hier stutze ich das erste Mal. Denn die linke Seite ist ja viel größer als die rechte.. Habe ich hier etwas falsch gemacht?

Wenn ich annehme, dass meine Prüfung richtig ist würde ich nun $\begin{eqnarray*} d_{0} = -F'(2) = -0,08 \end{eqnarray*}$ setzen.
Für die Armijo- Bedingung würde ich dann rausbekommen, dass diese erfüllt ist, wenn $\begin{eqnarray*} t_{0} = \beta^{0} = 1 \end{eqnarray*}$ und damit
$\begin{eqnarray*} x_{1} = x_{0} + t_{0}d_{0} = 2 - 0,08 = 1,92 \end{eqnarray*}$ .

Den zweiten Schritt des Verfahrens habe ich jetzt noch nicht durchgeführt, falls ich beim ersten Schritt schon Humbuk gemacht habe Augenzwinkern

Wäre super, wenn hier mal einer drüber schauen könnte smile

Danke!

Drei Beiträge zusammengefasst. Steffen

11.04.2017, 09:43

Katja_94

Auf diesen Beitrag antworten »

Kennt sich hiermit denn niemand aus? unglücklich

Bin für jede Hilfe dankbar.

11.04.2017, 11:12

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Das globalisierte Newtonverfahren war mir bisher nicht bekannt. Aber wenn ich die Betriebsanleitung richtig lese, hast du ab hier

Zitat:

Original von Katja_94
Nun habe ich wie im Algorithmus das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} f'(x) * d = - f(x) \end{eqnarray*}$ gelöst und $\begin{eqnarray*} d = -10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ miteinander vertauscht. In der Betriebsanleitung steht doch hier $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Damit habe ich nun die hinreichende Abstiegsbedingung geprüft $\begin{eqnarray*} F'(x_{0})^{T} * d_{0} = F'(2)^{T} * -10 = -0,8 \leq -\rho * |d_{0}|^{p} = -10^{-8} * 10^{2,1} \end{eqnarray*}$ .Hier stutze ich das erste Mal. Denn die linke Seite ist ja viel größer als die rechte.. Habe ich hier etwas falsch gemacht?

Mal abgesehen von der Vertauschung, wenn die Zahlen richtig wären, wäre doch die Abstiegsbedingung wegen der Minuszeichen vor beiden Zahlen erfüllt.

11.04.2017, 12:00

Katja_94

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Huggy, ja ich merke gerade dass f und F in der gesamten Aufgabe im Gegensatz zum Algorithmus vertauscht sind, da das in meinem Skript gerade umgekehrt war.
Die Zahlen sollten also trotzdem stimmen smile

Zur Ungleichung: du hast natürlich Recht! Freude

Vielen lieben Dank!

Neue Frage »

Antworten »

Anwendung Globalisiertes Newton-Verfahren

Verwandte Themen