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Marko893 Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppen
Meine Frage:
Hallo, ich komme mit dieser Aufgabe nicht zurecht.

Zeigen Sie, dass die Menge
M n×n (?) aller reellen quadratischen Matrizen M von der n-ten Ordnung mit Spur (M)=0 eine Gruppe bzgl. der Matrixaddition ist.

Hierbei ist Spur(M) die Summe der Elemente der Hauptdiagonale von M.


Meine Ideen:
Also zeigen bedeutet in dem Fall, dass ich nicht einfach zwei Elemente aus der Menge herausnehmen darf und es daran beweisen oder?

Ich weiß einfach nicht wie man das allgemeingültig beweist.

Im prinzip muss ich ja dann nur die 3 Kriterien für eine Gruppe durchgehen.

Assoziativität
Neutrales Element
Inverses Element
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine wichtige Eigenschaft hast du vergessen: Das Ergebnis der Operation (d.h. hier die Addtition) muss wieder in der Menge liegen! (*)

Ansonsten:

Wenn du bereits weißt (bzw. verwenden darfst), dass die reellen quadratischen Matrizen M von der n-ten Ordnung bzgl. Addition eine Gruppe bilden (d.h. OHNE die Spurbedingung), dann ist nur nachzuweisen, dass deine Menge hier eine Untergruppe davon ist. Und dazu ist neben (*) dann nur noch die Existenz der Inversen nachzuweisen - Assoziativität und neutrales Element werden von der Ausgangsgruppe geerbt, da ist nichts mehr nachzuweisen.
 
 
Marko893 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber dass die eine Gruppe bilden soll ich doch erst beweisen, dass ist doch die Aufgabenstellung
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Da drängt sich der Eindruck auf, du hast meinen Beitrag nicht richtig gelesen: Ich sprach von der Ausgangsgruppe OHNE die Spurbedingung - hätte ja sein können, dass ihr diese Gruppe schon mal besprochen habt. Na gut, dann vergiss diesen Teil, aber (*) hat nach wie vor Bestand.
Marko893 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wir sollen es seperat beweisen nicht auf der Grundlage dass die reellen quadratischen Matrizen schon eine gruppe bilden

Weiß leider nicht so richtig wie ich anfangen soll, wie kann ich beweisen dass die Matrixaddition geschlossen ist.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Marko893
Weiß leider nicht so richtig wie ich anfangen soll, wie kann ich beweisen dass die Matrixaddition geschlossen ist.

Du nimmst dir zwei Matrizen A und B mit Spur(A)=0 und Spur(B)=0 und zeigst, dass dann auch Spur(A+B)=0 ist.
Marko893 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke!

kann mir noch bitte jemand &#8474traurig √5) := {a + b√5 : a, b ∈ ℚ} in eine deutschen Satz übersetzen?

Das sind dann doch ein paar zu viele Mathevokabeln
Marko893 Auf diesen Beitrag antworten »

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Mit ist der Körper der rationalen Zahlen gemeint, die Quadratwurzel aus 5 gehört sicher nicht dazu. Wenn man sie dazunimmt, entsteht ein Erweiterungskörper von . Man betrachte den kleinsten Körper, der und eine Wurzel aus 5 enthält, das nennt man Adjunktion. Auf der rechten Seite der Definition fehlen die Mengenklammern. Übrigens steht auf der rechten Seite der Faktorring , und der Sinn der Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass dieser Ring bereits ein Körper ist. Man erhält also in diesem Fall durch Ringadjunktion bereits eine Körperadjunktion, die Ringerweiterung ist ihr eigener Quotientenkörper.
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