Linearkombination

10.04.2017, 16:12	yellowman	Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination Hallo zusammen, ich habe die Aufgabe: Stelle die Vektoren $\begin{eqnarray} \{\|11\rangle,\|10\rangle,\|00\rangle,\|1-1\rangle\} \end{eqnarray}$ der Basis des Gesamtspins $\begin{eqnarray} \vec{S}=\vec{S_1}+\vec{S_2} \end{eqnarray}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray} \{\|\frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle,\|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle,\|-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle,\|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle\} \end{eqnarray}$ der Produktbasis dar wobei $\begin{eqnarray} \vec{S}=\frac{\hbar}{2}\vec{\sigma} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{\sigma} \end{eqnarray}$ die bekannten Pauli Matrizen sind. Ich bin mir ehrlich gesagt noch nicht sicher ob meine Idee korrekt ist. Erstmal mit $\begin{eqnarray} \sigma_1=\frac{\hbar}{2}\sigma x \end{eqnarray}$ und mit $\begin{eqnarray} \sigma_2=\frac{\hbar}{2}\sigma y \end{eqnarray}$ gemeint. Die zugehörigen Eigenvektoren sind: $\begin{eqnarray} \sigma_x \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{-1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_y: \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{i} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sqrt{2}}\binom{1}{-i} \end{eqnarray}$ Die Produktbasis $\begin{eqnarray} \vec{S} \end{eqnarray}$ wäre demnach eine Kombination aus den vier Vektoren wenn ich das richtig sehe. Ich verstehe allerdings noch nicht was ich nun genau machen soll? In meiner Lösung ist leider nur das Ergebnis angegeben: $\begin{eqnarray} \|11\rangle=\|\frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|10\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}[\|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle+\|-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|1-1\rangle=\|-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|00\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}[\|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\rangle-\|-\frac{1}{2}\frac{1}{2}\rangle] \end{eqnarray}$ Hat jemand eine Idee? Vielen Dank!

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