Mengenbeweis

11.04.2017, 14:26

Batman31

Mengenbeweis

Meine Frage:
Hallo Liebe Mathefreunde. Ich habe einen Mengen Beweis durchgeführt und würde gerne wissen ob das was ich gemacht habe auch richtig ist.

Aufgabe: $\begin{eqnarray*} A = B \Leftrightarrow (A\subset B \wedge B\subset A) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mein Beweis :

Seien A und B Mengen.

( $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} A=B \Leftrightarrow \forall x : (x\in A \Leftrightarrow x\in B) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x : (x\in A \Rightarrow x\in B)\wedge (x\in B\Rightarrow x\in A) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A\subset B \wedge B\subset A \end{eqnarray*}$

Und die seite $\begin{eqnarray*} (\Leftarrow) \end{eqnarray*}$ würde ich einfach genau so machen nur rückwärts. Stimmt denn das ?

11.04.2017, 14:31

klarsoweit

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RE: Mengenbeweis
Ich habe keine Einwände und die Richtung $\begin{eqnarray*} (\Leftarrow) \end{eqnarray*}$ kannst du dir sparen, da du ja Äquivalenzumformungen verwendet hast. smile

11.04.2017, 16:41

Batman31

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RE: Mengenbeweis
vielen Dank für die Antwort ich hätte noch ein Beweis und zwar muss ich diesesmal Beweisen das $\begin{eqnarray*} A\subset B \Leftrightarrow A \cap B=A \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Idee besteht darin das ich das benutze was ich eben Bewiesen habe.

Also das $\begin{eqnarray*} A=B \Leftrightarrow (A\subset B \wedge B\subset A) \end{eqnarray*}$ gilt.

Beweis:

Seien A und B Mengen

$\begin{eqnarray*} A\cap B=A \Leftrightarrow (A \subset (A\cap B) \wedge (A\cap B)\subset A)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x: (x\in A\Rightarrow x\in (A\cap B) \wedge x\in (A\cap B)\Rightarrow x\in A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A \subset (x\in A\wedge x\in B) \wedge (x\in A\wedge x\in B)\subset A \end{eqnarray*}$

dann gilt aber auch

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \forall x: (x\in A\Rightarrow x \in B) \end{eqnarray*}$

Also AC B

12.04.2017, 10:21

klarsoweit

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RE: Mengenbeweis

Zitat:

Original von Batman31
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow A \subset (x\in A\wedge x\in B) \wedge (x\in A\wedge x\in B)\subset A \end{eqnarray*}$

Das geht formal nicht, denn $\begin{eqnarray*} (x\in A \wedge x\in B) \end{eqnarray*}$ ist eine Aussage und keine Menge.

Ich würde das diesmal in 2 Teile aufsplitten:

1. $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Rightarrow A \cap B=A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A \cap B \subseteq A \end{eqnarray*}$ ist klar per Default.

$\begin{eqnarray*} A \subseteq B \Rightarrow ... \Rightarrow A \subseteq A \cap B \end{eqnarray*}$ (müßte noch etwas ausgeführt werden)

Damit kannst du dann die Aussage aus dem ersten Teil verwenden.

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