Householder-Matrix Kern

11.04.2017, 14:48	Pixarrr	Auf diesen Beitrag antworten »
Householder-Matrix Kern Meine Frage: Hi Leute, ich brauche bei folgender Aufgabe eure Hilfe: gegeben sind $\begin{eqnarray} w \in \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ ein Vektor und die Householder-Matrix $\begin{eqnarray} H_{w} = E_{n} - 2ww^{t} \in \mathbb R ^{nxn} \end{eqnarray}$ In der ersten Aufgabe habe ich schon gezeigt, dass $\begin{eqnarray} H_{w} \end{eqnarray}$ orthogonal ist. Somit gilt ja $\begin{eqnarray} (H_{w})^{T} = (H_{w})^{-1} \end{eqnarray}$ . Jetzt ist der Kern von $\begin{eqnarray} H_{w} \end{eqnarray}$ noch anzugeben. Meine Ideen: So, wenn man jetzt weiß, dass die Matrix orthogonal ist, dann weiß man ja auch, dass sie invertierter ist und somit existiert ja der triviale Kern. Ich habe das dann so aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} (H_{w})^{T} = (E_{n} - 2ww^{t})^{t} = ... =E_{n} - 2ww^{t} \end{eqnarray}$ Jetzt weiß ich allerdings nicht weiter bzw. weiß nicht woran man jetzt den Kern erkennt oder diesen angeben kann. Kann mir hier jemand helfen?
11.04.2017, 15:01	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Householder-Matrix Kern Die Matrix ist im Allgemeinen nicht orthogonal, oder invertierbar. Man wähle z.B. $\begin{eqnarray} w = \frac 1 {\sqrt 2} e_1 \end{eqnarray}$ .
11.04.2017, 15:16	Pixarrr	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Householder-Matrix Kern Entschuldigung..ich sehe gerade, dass ich eine wichtige Information vergessen habe hinzuschreiben, denn es gilt $\begin{eqnarray} \| \| w \| \|_{2} = 1 \end{eqnarray}$ . Das war mein Fehler und ist für die Aufgabe ja auch sehr wichtig. Ist es dann möglich den Kern anzugeben ohne etwas für w einzusetzen?
11.04.2017, 15:25	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Householder-Matrix Kern Dann folgt aus der Orthogonalität, dass der Kern trivial ist-- wie du schon gesagt hast. Edit: Ganz Allgemein. Sei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eine invertierbare $\begin{eqnarray} n \times n \end{eqnarray}$ Matrix und $\begin{eqnarray} x \in \mathbb R^n \end{eqnarray}$ im Kern von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} x = E_n x = (A^{-1}A)x = A^{-1}(A x) = A^{-1} 0 = 0 \end{eqnarray}$ , d.h. $\begin{eqnarray} x = 0 \end{eqnarray}$ .
11.04.2017, 15:54	Pixarrr	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Householder-Matrix Kern Ah, okay..das Allgemeine, was du mir aufgeschrieben hast, hat mir für mein Verständnis, warum der Kern jetzt trivial ist, extrem geholfen. Jetzt verstehe ich es. Vielen Dank für deine Hilfe

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »