Gewinnschwelle berechnen

12.04.2017, 08:23	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewinnschwelle berechnen Meine Frage: Hab von einer Nachhilfeschülerin folgendes Beispiel vorgelegt bekommen: Die Fixkosten bei der Erzeugung eines bestimmten Produktes belaufen sich auf 1.050.000 Euro. Die Kosten von 500 Stück dieses Produktes betragen 1.250.000 Euro, der Preis bei einer Produktion von 500 Stück 2 Euro je Produkteinheit. Steigert man die Produktion auf 1.000 Stück, so ergeben sich Kosten von 2.200.000 Euro und ein Preis von je 1,7 Euro je Produkteinheit. (1) Stelle die quadratische Kostenfunktion auf! (2) Stelle die Preisfunktion auf! (3) Berechne die Gewinnschwelle und die Gewinngrenze! Habe es versucht und komme auf eine Gewinnfunktion, die mir leider keinen Gewinn liefert. Meine Vermutung ist ja, dass die Beträge der Kosten in der Angabe zu hoch sind, aber vielleicht ist mir auch ein grober Schnitzer unterlaufen. Ich bitte um eure Hilfe. Meine Ideen: (1) Kostenfunktion soll quadratisch sein, also allgemein: $\begin{eqnarray} K(x) = ax^2+bx+c \end{eqnarray}$ Fixkosten sind 1.050.000 Euro $\begin{eqnarray} \Rightarrow c = 1.050.000 \end{eqnarray}$ Die Kosten von 500 Stück betragen 1.250.000 und die Kosten von 1000 Stück betragen 2.200.000. Diese Information liefert uns folgendes Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} \text{I: } K(500) = 500^2a+500b+1.050.000 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{II: } K(1000) = 1000^2a+1000b+1.050.000 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \text{I: } 1.250.000 = 250.000a+500b+1.050.000 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{II: } 2.200.000 = 1.000.000a+1000b+1.050.000 \end{eqnarray}$ Wenn man dieses Gleichungssystem löst, erhält man folgende Kostenfunktion: $\begin{eqnarray} K(x) = 1,5x^2-350x+1.050.000 \end{eqnarray}$ (2) Gesucht ist die Preisfunktion, welche meines Wissens linear ist, also allgemein: $\begin{eqnarray} p(x)=kx+d \end{eqnarray}$ Der Preis je Produkteinheit bei einer produzierten Menge von 500 Stück beträgt 2 Euro. Der Preis je Produkteinheit bei einer produzierten Menge von 1000 Stück beträgt 1,7 Euro. Diese Information liefert uns wieder ein Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} \text{I: } p(500) = 500k+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{I: } p(1000) = 1000k+d \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \text{I: } 2 = 500k+d \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{I: } 1,7 = 1000k+d \end{eqnarray}$ Die Lösung liefert uns folgende Preisfunktion: $\begin{eqnarray} p(x)=-0,0006x+2,3 \end{eqnarray}$ (3) Mathematisch ist die Gewinnschwelle so wie die Gewinngrenze eine Nullstelle der Gewinnfunktion $\begin{eqnarray} G(x)=E(x)-K(x) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} E(x) = p(x) \cdot x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} E(x) = -0,0006x^2+2,3x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) = -0,0006x^2+2,3x - (1,5x^2-350x+1.050.000) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} G(x) = -1,5006x^2+352,3x - 1.050.000 \end{eqnarray}$ Die erhaltene Gewinnfunktion hat aber keine Nullstelle. Wo liegt mein Fehler?
12.04.2017, 10:35	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwas läuft hier bei den Ausgangsdaten doch gewaltig aus dem Ruder - GMV einschalten: Nehmen wir nur die ersten 500 Stück, dann ergibt eine leichte Überschlagsrechnung (1250000-1050000)/500 = 400 Euro Kosten pro Einheit, aber nur 2 Euro Erlös??? Das kann ja hinten und vorn nicht klappen. Meine Vermutung: Das fehlt irgendwo ein k wie "Kilo", entweder bei der Menge (d.h. 500000 statt 500) oder aber beim erzielten Preis, als 2 kEuro = 2000 Euro bz.w 1,7 kEuro = 1700 Euro.
12.04.2017, 10:46	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Hal 9000! Ja, das war auch meine Vermutung. Ich werde die Schülerin nochmals bitten, die Aufgabenstellung zu überprüfen. Kannst du mir vielleicht noch meine Annahme bezüglich der Preisfunktion bestätigen? Die sollte zumindest schon linear sein, oder? lg Ploki
12.04.2017, 10:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Daten sind generell ziemlich verwunderlich, ich kenne mich allerdings mit dem WiWi-Sprech nicht aus. So ist mir z.B. nicht klar, ob die Kostenzahlen 1.250.000 bzw. 2.200.000 bereits die Gesamtkosten für die Produktion von 500 bzw. 1000 Stück sein sollen (d.h. inklusive der Fixkosten), oder ob die zusätzlich auf die Fixkosten draufkommen. Mit ersterer Variante hast du gerechnet, aber irgendwie scheint es mir ökonomisch höchst fragwürdig, warum (nach Abzug der Fixkosten) die Kosten je Produkt bei 500 Stück durchschnittlich nur 400 Euro betragen, bei 1000 Stück dann aber plötzlich 1150 Euro - da klingeln bei meinem GMV aber gehörig die Alarmglocken: Was ist das denn für eine vergurkte Produktion? Ich hätte einen negativen Koeffizienten $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ erwartet, d.h., dass mit zunehmender Produktionsmenge die Kosten je Stück zurückgehen. Nach der letzteren Variante wären es bei 500 Stück 2500 Euro, und bei 1000 Stück dann 2200 Euro. Das geht zwar monotoniemäßig in eine vernünftige Richtung, allerdings ist bei diesen Kosten und den erzielten Preisen (selbst mit "Kilo") keine Gewinnzone in Sicht. Kurzum: M.E. gehören alle Zahlen und auch deren Interpretationen hier sorgfältig auf den Prüfstand. Beim derzeitigen Stand sehe ich weit und breit nichts ökonomisch sinnvolles in diesen Zahlen.
12.04.2017, 18:09	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Schülerin hat ihre Lehrerin gefragt, und jene bestätigte die Richtigkeit der Angabedaten. Sie gab ihr einen Hinweis, wie man auf die Preisfunktion kommen soll. Ich zitiere: "2500 = 500k+d und 1,71000=1000k+d Daraus erhältst du die lineare Preisfunktion - und dann daraus die Erlösfunktion" Ich verstehe leider gar nicht wie sie hier einsetzt. Warum 2*500? Die Preisfunktion gibt doch den Preis des Produktes in Abhängigkeit der produzierten Menge an, oder? lg Ploki
12.04.2017, 18:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigentlich ist es sch...egal, ob man nun den Einzelproduktpreis oder die Preissumme über alle $\begin{align} x \end{align}$ Produkte mit $\begin{align} p(x) \end{align}$ bezeichnet - es addressiert nicht die Widersprüche in den Daten, über die wir oben gesprochen haben.
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12.04.2017, 23:45	Ploki	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wahr, wie wahr. Am besten wir lassen es bleiben, solange es sich bei den Angaben nichts gröberes ändert. lg Ploki

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