Beweis: Differenz zweier nicht disjunkter Ereignisse

12.04.2017, 10:41

FaithNoMore

Beweis: Differenz zweier nicht disjunkter Ereignisse

Meine Frage:
Hallihallo,

ich sitze momentan vor folgendem Beweis:

Beweisen Sie den Satz $\begin{eqnarray*} \forall A \subset B \subset \Omega: P(B \setminus A) = P(B) - P(A) \end{eqnarray*}$ , der für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega, P) \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Ich finde, dass der Satz recht selbsterklärend und logisch ist, aber ich weiß nicht so recht, wie ich zeigen kann, dass wenn zwei Ereignisse nicht disjunkt sind, ich nicht die Schnittmenge $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) \end{eqnarray*}$ abziehen muss, sondern das gesamte Ereignisse A auch reicht, da A ja bereits ein Teil von B ist. unglücklich

Wäre wirklich sehr dankbar für jegliche Hilfe! Gott

12.04.2017, 10:44

FaithNoMore

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Mengensymbolfehler
Entschuldigt, ich meinte natürlich, dass man bei disjunkten Mengen den Schnitt $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ abziehen könnte, nicht $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) \end{eqnarray*}$ .

12.04.2017, 11:08

HAL 9000

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Du redest einen ja richtig besoffen mit deinen Verwechslungen. Im letzten Satz scheint auch ein "nicht" zu fehlen, d.h., du meinst dort doch sicher "nicht disjunkt" statt "disjunkt". unglücklich

(EDIT: Das mit dem "disjunkt" ist hier generell Quatsch, s.u.)

Kurzum: Für beliebige $\begin{align*} A,B \end{align*}$ ist $\begin{align*} B = (B\setminus A) \cup (A\cap B) \end{align*}$ eine Vereinigung von disjunkten Mengen (kurz "disjunkte Vereinigung" genannt), daher gilt $\begin{align*} P(B) = P(B\setminus A) + P(A\cap B) \end{align*}$ , was dann zu $\begin{align*} P(B\setminus A) = P(B) - P(A\cap B) \end{align*}$ umgestellt werden kann.

12.04.2017, 11:18

FaithNoMore

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Ja, korrekt diese Zusammenhänge sind mir bekannt. Nun muss ich jedoch zeigen, dass ich für nicht disjunkte Mengen
auch $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ subtrahieren kann. Forum Kloppe

Man braucht darüber ja nicht lange nachdenken, um zu sehen, dass das stimmt. Allerdings weiß ich nicht ganz, wie ich zeigen kann, dass $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ zum selben Ergebnis führen würde.

12.04.2017, 11:25

HAL 9000

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Bringen wir erstmal die Sprache in Ordnung: Es geht hier doch um $\begin{align*} A\subset B \end{align*}$ , wieso redest du da von "nicht disjunkt" ? $\begin{align*} A,B \end{align*}$ sind disjunkt, wenn $\begin{align*} A\cap B = \emptyset \end{align*}$ , sie sind es nicht im Fall $\begin{align*} A\cap B \neq \emptyset \end{align*}$ . Das hat jetzt primär nichts mit $\begin{align*} A\subset B \end{align*}$ zu tun. unglücklich

Im Fall $\begin{align*} A\subset B \end{align*}$ ist doch einfach $\begin{align*} A\cap B = A \end{align*}$ , womit die Verbindung geklärt sein sollte.

17.04.2017, 12:40

FaithNoMore

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Tut mir leid für die späte Antwort, aber genau das verwirrt mich... dadurch dass $\begin{eqnarray*} A \cap B = A \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ gilt, sagen wir doch, dass die Ereignisse nicht disjunkt sind, oder? Hammer

Und wir nehmen am Anfang einfach an, dass sie disjunkt sind, um $\begin{eqnarray*} P(B) = P(B \setminus A) \cup P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen? Aber wie gesagt, später zeigt sich ja, dass sie nicht disjunkt sind, sondern A als gemeinsame Teilmenge haben. Und dann darf ich trotzdem einfach die Formel $\begin{eqnarray*} P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ nutzen, um $\begin{eqnarray*} P(A \cap B) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ zu ersetzen? unglücklich

17.04.2017, 17:54

FaithNoMore

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Hallihallo? Kann hier irgendjemand das Gewirr in meinem Kopf klären? unglücklich

17.04.2017, 18:10

IfindU

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Zitat:

Original von FaithNoMore
$\begin{eqnarray*} P(B) = P(B \setminus A) \cup P(A \cap B) \end{eqnarray*}$

HAL hatte es doch bereits richtig hingeschrieben: $\begin{eqnarray*} B = (B \setminus A) \cup(A \cap B) \end{eqnarray*}$ . Und nun sind natürlich nicht $\begin{eqnarray*} A,B \end{eqnarray*}$ disjunkt, aber die Mengen $\begin{eqnarray*} C:= B \setminus A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D:= A \cap B \end{eqnarray*}$ sind es, also $\begin{eqnarray*} C \cap D = \emptyset \end{eqnarray*}$ . Und das verwendet man hier.

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