Differential überall umkehrbar

12.04.2017, 16:58	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
Differential überall umkehrbar Hallo, wie kann man die die Aufgabe lösen? Sei $\begin{eqnarray} \phi : R^2\rightarrow R^2 \setminus {0} \end{eqnarray}$ die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi(x_1,x_2)=(e^{x_1}cosx_2,e^{x_1}sinx_2) \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, dass a) das Differential von \phi überall umkehrbar ist b) die Abbildung \phi subjektiv aber nicht injektiv ist. Zum a) Sollte man das Differential berechnen? Wie geht man weiter vor? Zum b) ist sie nicht injektiv, weil $\begin{eqnarray} \phi : R^2\rightarrow R^2 \setminus {0} \end{eqnarray}$ , d.h. 0 wird nie angenommen? Wie kann man das beweisen? Liebe Grüsse David
12.04.2017, 18:38	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential überall umkehrbar Bei a) ist die Jacobi-Matrix gemeint. Bei b) ist die Null ja aus der Wertemenge explizit ausgenommen. Wuerde sie trotzdem angenommen, waere an der Funktionsdefinition etwas falsch. Weiterer Tipp: es heisst "surjektiv", "subjektiv" ist etwas anderes.
13.04.2017, 11:05	ksgfan	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential überall umkehrbar Danke für die Antwort ich habe surjektiv gemeint, habe mich vertippt $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}<br /> e^{x_1}cos(x_2) & -e^{x_1}sin(x_2) \\<br /> e^{x_1}sin(x_2) & e^{x_1} cos(x_2)<br /> \end{pmatrix} :=A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} det(A) = e^{2x_1}(sin^2x_2 + cos^2x_2) = e^{2x_1} \end{eqnarray}$ und das wird nie Null. Ist es schon fertig? Muss ich kein Differential berechnen? bei b) Die Funktion nimmt nie den Wert Null an. Sind die Beweise gleich wie bei eindimensionalen Abbildungen ? Liebe Grüsse David
13.04.2017, 15:21	005	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differential überall umkehrbar Genau genommen ist das Differential die Abbildung $\begin{eqnarray} h\mapsto Ah \end{eqnarray}$ , wenn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ die Jacobi-Matrix an der Stelle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ist. Ob diese Abbildung stets umkehrbar ist, kannst Du ja an $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ablesen. Dass die Funktion $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ nie den Wert $\begin{eqnarray} (0, 0) \end{eqnarray}$ annimmt, steht bereits in der Aufgabe. Dass sie aber jeden Wert $\begin{eqnarray} \ne(0,0) \end{eqnarray}$ annimmt (sogar unendlich oft), sollst Du zeigen.

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