Matrix-Eigenwert-Potenzieren

12.04.2017, 23:14	Nasch	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix-Eigenwert-Potenzieren Meine Frage: 1) Man zeige: Die Eigenwerte von A^2 sind genau die quadrierten Eigenwerte von A. 2) Gilt die Aussage auch für $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ anstelle von $\begin{eqnarray} \mathbb{C} \end{eqnarray}$ ? Meine Ideen: Also 1) habe ich auf folgende Weise gelöst: X[A](t)X[A](-t) =det(A-tE)det(A+tE) =det((A-tE)(A+tE)) =det(A^2+AtE-AtE-t^2E) =det(A^2-t^2*E) =X[A^2](t^2) Hierbei ist X[A](t) das charakterischtische Polynom der Matrix A zum Eigenwert t. Und E ist natürlich die Einheitsmatrix. Doch bei 2) komme ich überhaupt nicht weiter... Schon mal danke für die Hilfe
13.04.2017, 09:44	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sieht sehr hübsch aus. Wieso ist damit 1) bewiesen ? Kannst du das ein wenig erläutern oder weiter ausführen ? An welcher Stelle in diesem Beweis spielt der Körper eine Rolle ? Wenn diese Gleichungen für die charakteristischen Polynome richtig sind, gelten sie für jeden Körper, nicht nur für die reellen oder komplexen Zahlen.
13.04.2017, 10:00	Nasch	Auf diesen Beitrag antworten »
1 Also an sich ist damit erstmal die Aussage generell bewiesen und ich wollte dann erst bei 2) zu den Körpern kommen, damit ich 1) nicht komplizierte mache als es eh schon war Mittlerweile habe ich bei 2) folgende Idee: c^2 sind die Eigenwerte von A^2. c^2 $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ {c1,c2,...,cn} $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ c $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ { $\begin{eqnarray} \sqrt[2]{c1},...,\sqrt[2]{cn} \end{eqnarray}$ } und das geht an sich ja über jedem Körper, außer mit einer Ausnahme, nämlich wenn c^2 -1 ist. Daraus wäre ja die Wurzel i und das ist ja nur möglich im Körper der komplexen Zahlen und deswegen geht das über $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nicht.
13.04.2017, 11:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Den Beweis zu 1) verstehe ich wirklich nicht. Du machst da eine Aussage über Polynome in t und t². Wie hängt das genau mit den Eigenwerten von A und A² zusammen ? zu 2) : nicht nur die Wurzel aus -1 ist nicht reell, alle Wurzeln aus negativen reellen Zahlen sind nicht reell. In unendlich vielen anderen Körpern gibt es auch Elemente, die keine Quadrate sind, z.B. in allen endlichen Körpern ( z.B. $\begin{eqnarray} 3\in\mathbb F_7 \end{eqnarray}$ )

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