Determinante zu 0 setzen

13.04.2017, 20:44	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante zu 0 setzen $\begin{eqnarray} M = \begin{bmatrix} mr^2 & 0 \\ 0 & m \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} K = \begin{bmatrix} r^2(k_1 + k_2) & -k_2 r \\ -k_2 r & k_2 + k_3 \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Außerdem gilt $\begin{eqnarray} k_1 = 2k_2 = 2k_3 = k \end{eqnarray}$ somit $\begin{eqnarray} K = \begin{bmatrix} \frac{3}{2}r^2k & -\frac{1}{2}kr \\ -\frac{1}{2}kr & -\frac{1}{4}k \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Es soll $\begin{eqnarray} 0 = det(-\omega^2 M + K) \end{eqnarray}$ gelten $\begin{eqnarray} 0 = det\begin{bmatrix} -\omega^2 mr^2 + \frac{3}{2}r^2k & -\frac{1}{2}kr \\ -\frac{1}{2}kr & -\omega^2 m + \frac{1}{4}k\end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Nach ausmultiplizieren erhalte ich $\begin{eqnarray} 0 = \omega^4 - \omega^2 \frac{7k}{4m} + \frac{k^2}{8m^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = u^2 - u \frac{7k}{4m} + \frac{k^2}{8m^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u_{1,2} = \frac{\frac{7k}{4m} \pm \frac{k}{m} \sqrt{\frac{49}{4} - \frac{4}{8}}}{2} \end{eqnarray}$ Die Musterlösung für $\begin{eqnarray} \omega \end{eqnarray}$ soll nun $\begin{eqnarray} \omega_1 = 0,381\sqrt{\frac{k}{m}} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \omega_2 = 1,345\sqrt{\frac{k}{m}} \end{eqnarray}$ sein. Mit meiner Lösung für u erhalte ich durch Rücksubstitution aber was anderes. Kann hier jemand einen Fehler entdecken?
13.04.2017, 21:29	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{align} k_2+k_3=\frac k2+ \frac k2=k\neq -\frac 14k \end{align}$
13.04.2017, 21:30	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die gerundeten Koeffizienten stehen wohl für die exakten Werte $\begin{align} \frac{1}{2} \sqrt{5 \pm \sqrt{5}} \end{align}$ . Dein $\begin{align} K \end{align}$ ist falsch. Das Matrixelement rechts unten muß $\begin{align} k \end{align}$ heißen, nicht $\begin{align} - \frac{1}{4} k \end{align}$ .
13.04.2017, 21:42	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Tatsächlich, jetzt passt es. Danke an euch beide

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