Konvergenz einer Reihe mit dem Leibnizkriterium beweisen

14.04.2017, 14:43

memuench2302

Konvergenz einer Reihe mit dem Leibnizkriterium beweisen

Meine Frage:
Hallo,

Ich habe meine Probleme mit dem Zeigen der Konvergenz bei der Reihe wie ich sie angehangen habe. Da die Reihe ja alternierend ist, wollte ich das Leibnitzkriterium anwenden. Heißt wenn an gegen Null konvergiert und monoton ist, konvergiert die Reihe. Um die Konvergenz von an wiederrum zu beweisen, habe ich mit dem Quotientenkriterium angefangen.

Meine Ideen:
Daher stelle ich die Formel jetzt wie folgt auf: an+1 / an
$\begin{eqnarray*} \frac{(a+bi)^{2k+2} }{(2k+2)!} : \frac{(a+bi)^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

Wegen dem Umkehrbruch gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{(a+bi)^{2k+2} }{(2k+2)!} * \frac{(2k)!}{(a+bi)^{2k}} \end{eqnarray*}$

Was ich dann umstellen kann zu:

$\begin{eqnarray*} \frac{(2k)!}{(2k+2)!} * \frac{(a+bi)^{2k+2}}{(a+bi)^{2k}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man vorallem den zweiten Bruch rauskürzen, wodurch ich jetzt erstmal kurz den 1. Bruch weglasse um zu kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{(a+bi)^{2k}*(a+bi)^{2}}{(a+bi)^{2k}} \end{eqnarray*}$

Das (a+bi)^2k kann man nun wegkürzen, da es keine Summe ist.
$\begin{eqnarray*} \frac{(2k)!}{(2k+2)!} * (a+bi)^{2} \end{eqnarray*}$

Wenn man das auf den selben Nenner bringt, kann man (2k+2)! ebenfalls rauskürzen:
$\begin{eqnarray*} \frac{(2k)!*(a+bi)^{2}*(2k+2)!}{(2k+2)!} \end{eqnarray*}$

Dann hat man hier stehen:

(2k)! * (a+bi)²

Weil i² = -1:

(2k)! * (a²-b²)

Das kann man auch schreiben als:

(2k) * k! * (a²-b²)
= (2ka² - 2kb²) * k!
= (2ka² - 2kb²)!

Jetzt habe ich nur absolut keine Ahnung inwiefern man da den Sachverhalt von a und b kennt bzw. wie man so einen Grenzwert herausfinden soll. Deswegen nehme ich an, habe ich irgendwo einen Fehler gemacht.

Danke für jede Hilfe im Voraus

14.04.2017, 15:08

Iorek

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Überleg dir einmal, ob du wirklich das Leibniz-Kriterium (ohne tz bitte) anwenden willst; schließlich hast du hier komplexe Zahlen vorliegen, da wird das mit der Monotonie nichts. Und auch die Schreibweise mit $\begin{align*} z=a+ib \end{align*}$ macht die Sache eher schlimmer. Man könnte noch über das Dirichlet-Kriterium nachdenken, das ist aber gar nicht nötig. Versuch es mal mit dem Quotientenkriterium. smile

(Ich gehe mal davon aus, dass dir die Reihendarstellung des Cosinus noch nicht bekannt ist und die in dieser Aufgabe thematisiert wird)

14.04.2017, 15:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Iorek
schließlich hast du hier komplexe Zahlen vorliegen

Weswegen die Bezeichnung "alternierende" Reihe für die meisten $\begin{align*} z \end{align*}$ hier auch völlig abwegig ist.

@memuench2302

Ich bin auch etwas erstaunt über die mächtig aufgeblasene Rechnung oben: Warum? Das Quotientenkriterium gilt auch für Reihen mit komplexen Gliedern, und da reicht es hier durchaus, bei $\begin{align*} z \end{align*}$ bwz. $\begin{align*} |z| \end{align*}$ zu bleiben, eine Aufdröselung via $\begin{align*} z=a+ib \end{align*}$ bringt hier gar nichts.

14.04.2017, 15:28

memuench2302

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Hallo, Danke euch beiden für die schnelle Antwort. Jedoch versteh ich nicht ganz wie nun mein erster Schritt aussieht. Soll ich nun trotz der alternierenden Reihe das Quotientenkriterium anwenden und Leibniz erstmal vergessen?

Edit: Verstanden wieso die alternierende Reihe schwachsinnig ist, verstehe ich. Bei Z ist es ja egal ob die 1 negativ ist oder nicht. Also kann man die erstmal weglassen?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

14.04.2017, 15:30

Iorek

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Zu "alternierend" hat HAL ja schon etwas gesagt: diese Reihe ist im Allgemeinen nicht alternierend! Das Leibnizkriterium ist nur für reelle Reihen definiert, nicht für komplexe.

Und dein Gedankengang ist falsch: bloß weil es eine alternierende Reihe ist, muss man nicht unbedingt das Leibnizkriterium anwenden. Wenn es das Quotientenkriterium auch tut, dann kann man das natürlich verwenden (und sollte man auch weil man dann direkt absolute Konvergenz bekommt).

14.04.2017, 15:45

memuench2302

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Zitat:

Original von Iorek
Zu "alternierend" hat HAL ja schon etwas gesagt: diese Reihe ist im Allgemeinen nicht alternierend! Das Leibnizkriterium ist nur für reelle Reihen definiert, nicht für komplexe.

Und dein Gedankengang ist falsch: bloß weil es eine alternierende Reihe ist, muss man nicht unbedingt das Leibnizkriterium anwenden. Wenn es das Quotientenkriterium auch tut, dann kann man das natürlich verwenden (und sollte man auch weil man dann direkt absolute Konvergenz bekommt).

Ich habe nun das Quotientenkriterum auf die Formel angewendet, bekomme aber schon wieder ein krummes ergebnis:
(2k)! * (-1)^k * z²
also (2k * (-1)^k * z²)!

Wenn ich das Quotientenkriterium nun auf die Formel komplett ohne -1^k anwende kommt raus:
(2k * z²)!

Ich sehe bei beiden leider keine Konvergenz. Könnt ihr mir einen Ansatz geben, wie ich anfangen soll?

14.04.2017, 16:00

HAL 9000

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Es ist völlig unklar, was du da zusammenrechnest. unglücklich

Fangen wir mal ganz von vorn an. Das Quotientenkriterium besagt

Zitat:

Gibt es eine reelle Zahl $\begin{align*} q<1 \end{align*}$ sowie einen Index $\begin{align*} k_0 \end{align*}$ , so dass für alle $\begin{align*} k\geq k_0 \end{align*}$ die Ungleichung $\begin{align*} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| \leq q \end{align*}$ gilt, so ist die Reihe $\begin{align*} \sum_k a_k \end{align*}$ konvergent - das gilt auch und gerade für komplexe $\begin{align*} a_k \end{align*}$ !

Im vorliegenden Fall ist $\begin{align*} a_k = (-1)^k \frac{z^{2k}}{(2k)!} \end{align*}$ und damit dann

$\begin{align*} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \left| \frac{z^{2k+2}(2k)!}{(2k+2)!z^{2k}} \right| = \frac{|z|^2}{(2k+1)(2k+2)} \end{align*}$ .

Und damit spiele ich den Ball zurück.

14.04.2017, 16:12

memuench2302

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Ok, was man sofort sieht ist dass der Nenner durch die Variable k steigt, während der Zähler gleich bleibt. Das heißt die ganze Gleichung wird immer kleiner und konvergiert gegen 0. Demnach wäre auch die Bedingung erfüllt, dass die Gleichung ak+1/ak sicher unter q < 1 bewegt.
Eine Frage wäre noch da, wie bist du auf den Nenner gekommen? Klar (2k)! und (2k+2)! lässt sich kürzen. Aber wie du auf den Rest gekommen bist versteh ich noch nicht ganz

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

14.04.2017, 16:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von memuench2302
Eine Frage wäre noch da, wie bist du auf den Nenner gekommen? Klar (2k)! und (2k+2)! lässt sich kürzen. Aber wie du auf den Rest gekommen bist versteh ich noch nicht ganz

Welcher "Rest" ? Da wäre doch nur noch $\begin{align*} z^{2n+2} = z^{2n}\cdot z^2 \end{align*}$ ? Oder was sonst meinst du? Erstaunt1

14.04.2017, 16:20

memuench2302

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Sorry, ich habe mich unklar ausgedrückt. Ich meinte wie du auf das (2k+1)(2k+2) gekommen bist, aber das habe ich mittlerweile auch verstanden. Also stimmt die Aussage, die ich über die Konvergenz getroffen habe?

EDIT: Komplettzitat entfernt (klarsoweit)

14.04.2017, 16:43

HAL 9000

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Du meinst das mit der Nullkonvergenz? Ja, das ist richtig, und das klappt für alle $\begin{align*} z\neq 0 \end{align*}$ (und für z=0 ist die Reihenkonvergenz eh klar, da brauchen wir kein Quotientenkriterium).

Eine Frage: Warum schreibst du sowas wie

Zitat:

Original von memuench2302
Klar (2k)! und (2k+2)! lässt sich kürzen.

wenn du (zu dem Zeitpunkt) noch nicht wirklich verstanden hast, was da beim Kürzen herauskommt. Sowas nenne ich Irreführung. unglücklich

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