LU-Zerlegung und Sherman-Morrison-Formel

14.04.2017, 18:29	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
LU-Zerlegung und Sherman-Morrison-Formel Hallo zusammen, die Aufgabe lautet: Sei $\begin{eqnarray} A \in \mathbb R ^{n\times n} \end{eqnarray}$ eine reguläre Matrix. Wenn man eine LU-Zerlegung für $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ bestimmt hat, so kann man diese auch für eine Matrix $\begin{eqnarray} \bar{A} \end{eqnarray}$ wiederverwenden, wobei $\begin{eqnarray} \bar{A} = A + uv^{T} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} u,v \in \mathbb R ^{n} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} u \neq 0, v \neq 0 \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} uv^{T} \end{eqnarray}$ ist eine Matrix vom Rang 1). a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \bar{A} \end{eqnarray}$ genau dann singulär ist, wenn $\begin{eqnarray} 1 + v^{T}A^{-1}u = 0 \end{eqnarray}$ . b) Nach dem ersten Teil der Aufgabe ist für $\begin{eqnarray} 1 + v^{T}A^{-1}u \neq 0 \end{eqnarray}$ die Matrix $\begin{eqnarray} \bar{A} \end{eqnarray}$ regulär. Weisen Sie nach, dass dann $\begin{eqnarray} \bar{A}^{-1}=A^{-1}- \alpha A^{-1}uv^{T}A^{-1} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha = \frac{1}{1+v^{T}A^{-1}u} \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Zu a) $\begin{eqnarray} v^{T}A^{-1}u = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v^{T}A^{-1}u = \begin{pmatrix} a_1 & ... & a_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 & ... & a_n \\ ... & ... & b_n \\ c_n & ... & c_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a_1 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis ist eine $\begin{eqnarray} 1\times 1 \end{eqnarray}$ Matrix, also ein Skalar. Ich versuche irgendwie Rückschlüsse von dem Ergebnis der Matrixmultiplikation zu machen auf die Determinante von $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ aber ich komme auf keinen grünen Zweig. zu b) fällt mir leider nichts ein. Danke schonmal

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »