z^m = 1

14.04.2017, 23:05

forbin

z^m = 1

Ich stehe gerade wohl auf dem Schlauch Hammer

Gesucht sind alle komplexen Zahlen z für die gilt: $\begin{eqnarray*} z^{m} = 1, m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Mein Ansatz ist:
$\begin{eqnarray*} \text{Sei } z = |z|\cdot(cos(\phi) + i\cdot sin(\phi)). \text{Dann ist } z^{m} = |z|^{m}\cdot(cos(m\cdot\phi) + i\sin(m\cdot\phi)) \end{eqnarray*}$ .
Damit das 1 ergibt, muss doch gelten: $\begin{eqnarray*} |z|=1, cos(m\cdot\phi) = 1 \text{und } sin(m\cdot\phi)=0 \end{eqnarray*}$ , oder? verwirrt

14.04.2017, 23:41

10001000Nick1

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Bis jetzt alles richtig.
Jetzt musst du alle Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} \cos(m\cdot \phi)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(m\cdot \phi)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

15.04.2017, 09:40

forbin

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Bis jetzt alles richtig.
Jetzt musst du alle Winkel $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ finden, für die $\begin{eqnarray*} \cos(m\cdot \phi)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(m\cdot \phi)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Es ist ja: $\begin{eqnarray*} cos(m\phi) = 1 \Leftrightarrow sin(m\phi) = 0 \end{eqnarray*}$

Betrachte ich also $\begin{eqnarray*} sin(m\phi) = 0 \Leftrightarrow m\phi = k\cdot\pi, (k\in\mathbb Z) \Leftrightarrow \phi = \frac{k}{m}\pi \end{eqnarray*}$
Meine Lösung ist also: $\begin{eqnarray*} z = (cos(\frac{k}{m}\pi) + i\cdot sin(\frac{k}{m}\pi)) \end{eqnarray*}$

Die Probe liefert mir schonmal ein brauchbares Ergebnis smile

€dit: Oh, doch nicht....komme auf -1 verwirrt

€dit2: Das ist keine Äquivalenz Hammer

Also nochmal:

$\begin{eqnarray*} cos(m\phi) = 1 \Rightarrow sin(m\phi) = 0. \text{Also: } cos(m\phi) = 1 \Leftrightarrow m\phi = 2k\pi, (k\in\mathbb N_{0}) \end{eqnarray*}$
Meine Lösung ist also: $\begin{eqnarray*} z = cos(\frac{2k}{m}\pi), (k\in\mathbb N_{0}) \end{eqnarray*}$

15.04.2017, 11:03

10001000Nick1

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Was du in deinem Edit2 geschrieben hast, ist fast richtig:

Zitat:

Original von forbin
Meine Lösung ist also: $\begin{eqnarray*} z = cos(\frac{2k}{m}\pi), (k\in\mathbb N_{0}) \end{eqnarray*}$

Hier fehlt noch das i: $\begin{eqnarray*} z = cos(\frac{2k}{m}\pi)\cdot i \end{eqnarray*}$ smile

Oder $\begin{eqnarray*} z=e^{\frac{2k\pi i}{m}} \end{eqnarray*}$

Und da sich die Winkel $\begin{eqnarray*} \phi\ 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch wiederholen, reicht es, wenn du dich auf $\begin{eqnarray*} \phi\in[0,2\pi) \end{eqnarray*}$ beschränkst, d.h. auf $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq m-1 \end{eqnarray*}$ .

15.04.2017, 11:06

forbin

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Danke, aber wieso fehlt das i?
Ich habe doch $\begin{eqnarray*} z = 1\cdot (cos(\frac{2k}{m}\pi) + i\sin(\frac{2k}{m}\pi) \end{eqnarray*}$ . Der Sinus wird null und damit doch auch das i?

15.04.2017, 11:15

10001000Nick1

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Vergiss das wieder, was ich oben geschrieben habe. Hammer

Der Sinus von $\begin{eqnarray*} \frac{2k}{m}\pi \end{eqnarray*}$ wird natürlich nicht Null (richtig ist nur $\begin{eqnarray*} \sin(2k\pi)=0 \end{eqnarray*}$ ).

Also: $\begin{eqnarray*} z=e^{\frac{2k\pi i}{m}}=\cos\left(\frac{2k\pi}{m}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{m}\right) \end{eqnarray*}$ .

15.04.2017, 11:45

forbin

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Ja, ich war auch durcheinander gekommen mit Berechnung und Probe.

Das Ergebnis sollte also lauten:
$\begin{eqnarray*} |z|^{m} = 1 \Leftrightarrow z = 1\cdot(cos(\frac{2k}{m}\pi +i\cdot sin(\frac{2k}{m}\pi)), k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Dann liefert mir nämlich die Probe:
$\begin{eqnarray*} z^{m} = 1^{m}\cdot(cos(2k\pi) +i\cdot sin(2k\pi)) = cos(2k\pi) = 1 ,k\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

15.04.2017, 13:14

10001000Nick1

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Ja, jetzt stimmt es.

Wie oben schon gesagt, gibt es nur m voneinander verschiedene Lösungen. Diese m Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray*} z^m=1 \end{eqnarray*}$ nennt man m-te Einheitswurzeln.

22.04.2017, 14:58

forbin

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Ich nutze diesen Thread nochmal weil es thematisch passt.
Die nächste Aufgabe ist nun:
$\begin{eqnarray*} |z-1|^{m} = 1 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich mir das Ergebnis aus der ersten Aufgabe genommen, sprich:
$\begin{eqnarray*} z = cos\left(\frac{2k}{m}\pi\right)-1 + i \cdot sin\left(\frac{2k}{m}\pi\right) \end{eqnarray*}$ gebildet.
Aber darauf läuft das ja bestimmt nicht hinaus.
Ich dachte, vielleicht kann ich was zusammenfassen, wenn ich $\begin{eqnarray*} -1 \text{ als} +cos(pi) \end{eqnarray*}$ schreibe, aber das hat leider nicht gefruchtet.
Könnt ihr mir einen besseren Ansatz nennen?

22.04.2017, 18:49

10001000Nick1

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$\begin{eqnarray*} |z-1| \end{eqnarray*}$ kann nur nicht-negative reelle Werte annehmen. Welchen Wert muss $\begin{eqnarray*} |z-1| \end{eqnarray*}$ also haben, damit $\begin{eqnarray*} |z-1|^m=1 \end{eqnarray*}$ ist?

23.04.2017, 02:13

forbin

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Ich habe mich verschrieben unglücklich

Es sollte mit Klammern statt Betragsstrichen sein.

23.04.2017, 16:39

10001000Nick1

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Das Minus hier:

Zitat:

Original von forbin
Hier habe ich mir das Ergebnis aus der ersten Aufgabe genommen, sprich:
$\begin{eqnarray*} z = cos\left(\frac{2k}{m}\pi\right)\textcolor{red}{-}1 + i \cdot sin\left(\frac{2k}{m}\pi\right) \end{eqnarray*}$ gebildet.

ist falsch.

Wegen $\begin{eqnarray*} (z-1)^m=1 \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} z-1=\cos\left(\frac{2k\pi}{m}\right)+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{m}\right) \end{eqnarray*}$ sein, also

$\begin{eqnarray*} z=\cos\left(\frac{2k\pi}{m}\right)+1+i\cdot \sin\left(\frac{2k\pi}{m}\right) \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} k\in\{0,...,m-1\} \end{eqnarray*}$ ).

23.04.2017, 17:19

forbin

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Wie oft muss ich den Hammer

wohl noch nutzen Big Laugh

Natürlich! Vielen Dank!

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