Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit

15.04.2017, 07:57

8A-Maria9

Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit

Meine Frage:
Guten Morgen,

ich beschäftige mich mit einer Aufgabe und würde mich über Tipps und Verbesserungen sehr freuen.

Die Aufgabe:
Untersuchen Sie das auf dem Gebiet $\begin{eqnarray*} G := \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ definierte 3-dimensionale Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{E} : G \rightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} \vec{E} (\vec{r}) := \frac{4}{(1+4 {r_1}^2 + 2 {r_3}^2)^2} \begin{pmatrix} 2 r_1 \\ 0 \\ r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wobei gilt $\begin{eqnarray*} (\vec{r} \in G) \end{eqnarray*}$ , auf lokale Wirbelfreiheit und berechnen Sie (falls möglich ) alle stetigen-differenzierbaren Skalarfelder $\begin{eqnarray*} \varphi : G \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{r}) =- \text{ grad } \varphi (\vec{r}) \end{eqnarray*}$ wobei gilt $\begin{eqnarray*} (\vec{r} \in G) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also Vektorfelder sind im Allgemeinen wirbelfrei wenn folgende Beziehung gilt: ilt

$\begin{eqnarray*} \text{ rot } \vec{E} (\vec{r}) = \vec{0} \end{eqnarray*}$ bzw. anders ausgedrückt, dass gilt: $\begin{eqnarray*} \text{ rot } (\text{ grad } \varphi (\vec{r})) = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Also zu meinem Fahrplan für die Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} 1. \end{eqnarray*}$ Ich muss die Rotation des Vektorfeldes bilden um Wirbelfreiheit festzustellen.
$\begin{eqnarray*} 2. \end{eqnarray*}$ Den Gradienten $\begin{eqnarray*} \text{ grad } \varphi (\vec{r})) \end{eqnarray*}$ berechnen und sicherstellen, dass dieser negativ dem Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{E} (\vec{r}) \end{eqnarray*}$ entspricht.

Sofern ich was übersehen habe, ist eine Korrektur von meiner Seite aus gerngesehen. Ich habe noch ein Problem. Ich weiß gerade nicht was sich hinter dem $\begin{eqnarray*} \varphi (\vec{r}) \end{eqnarray*}$ verbirgt? Ich muss doch einfach den Gradienten des Vektorfeldes $\begin{eqnarray*} \vec{E} (\vec{r}) \end{eqnarray*}$ bilden?

Ich bedanke mich schon mal und verbleibe

grüßend

Anamaria

16.04.2017, 06:47

Huggy

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Rechne doch die Rotation des Vektorfeldes mal aus. Dann siehst du, ob es ein Skalarfeld $\begin{eqnarray*} \varphi (\vec r) \end{eqnarray*}$ mit der gesuchten Eigenschaft geben kann.

18.04.2017, 08:33

8A-Maria9

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Guten Morgen Huggy,

dann versuche ich es soweit ich es verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} \vec{E} (\vec{r}) := \frac{4}{(1+4 {r_1}^2 + 2 {r_3}^2)^2} \begin{pmatrix} 2 r_1 \\ 0 \\ r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wobei gilt $\begin{eqnarray*} (\vec{r} \in G) \end{eqnarray*}$ , auf lokale Wirbelfreiheit und berechnen Sie (falls möglich ) alle stetigen-differenzierbaren Skalarfelder $\begin{eqnarray*} \varphi : G \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{E}(\vec{r}) =- \text{ grad } \varphi (\vec{r}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{ rot } \vec{E} (x,y,z) =\nabla \times {\vec {E}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}E_{x}\\E_{y}\\E_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}}\ \end{eqnarray*}$
Bezogen auf die Aufgabennotation gilt dies mit: $\begin{eqnarray*} \vec{r} = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \text{ rot } \vec{E} (x,y,z) =\nabla \times {\vec {E}}={\begin{pmatrix}{\frac {\partial E_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial E_{y}}{\partial z}}\\{\frac {\partial E_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial E_{z}}{\partial x}}\\{\frac {\partial E_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial E_{x}}{\partial y}}\end{pmatrix}} ={\begin{pmatrix}0-0\\-\frac{64 r_1 r_3}{1+4 {r_1}^2 + 2 {r_3}^2}+\frac{64 r_1 r_3}{1+4 {r_1}^2 + 2 {r_3}^2}=0\\0-0 \end{pmatrix}}\\ \end{eqnarray*}$

Okay somit ergibt sich die Null und es handelt sich um ein wirbelfreies, konservatives Vektorfeld.

Jetzt muss ich noch den 2.ten Punkt berechnen, konkret also den Gradienten des Skalarfeldes. Da muss ich einfach nur den Gradienten bilden? Also:

$\begin{eqnarray*} \text{ grad } \vec{\varphi} (\vec{r}) = \text{ grad } \left( \frac{4}{(1+4 {r_1}^2 + 2 {r_3}^2)^2} \begin{pmatrix} 2 r_1 \\ 0 \\ r_3 \end{pmatrix} \right) \end{eqnarray*}$ oder? Und das muss negativ dem Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec{E} (\vec{r}) \end{eqnarray*}$ entsprechen?

Danke Huggy und verbleibe

grüßend

Anamaria

18.04.2017, 08:51

Huggy

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Bei der Rotation hast du dich verrechnet. Ich bekomme mit $\begin{eqnarray*} r_1=x, r_2=y, r_3 =z \end{eqnarray*}$ auf

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla \times \vec E= (0, \frac{16 x z (-2 x^2 + z^2)}{(1 + 4 x^2 z^2)^3}, 0) \end{eqnarray*}$

Das ist nicht der Nullvektor. Damit kann es kein Skalarfeld mit der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla \varphi = \vec E \end{eqnarray*}$

geben. Du schreibst dauernd

$\begin{eqnarray*} \vec \nabla \varphi = \vec \nabla \vec E \end{eqnarray*}$

Davon ist aber nicht die Rede.

20.04.2017, 11:04

8A-Maria9

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Hallo Huggy, hallo Matheboarder,

Zitat:

Original von Huggy
Bei der Rotation hast du dich verrechnet. Ich bekomme mit $\begin{eqnarray*} r_1=x, r_2=y, r_3 =z \end{eqnarray*}$ auf
$\begin{eqnarray*} \vec \nabla \times \vec E= (0, \frac{16 x z (-2 x^2 + z^2)}{(1 + 4 x^2 z^2)^3}, 0) \end{eqnarray*}$

Also irgendwie komme ich nicht auf das Ergebnis. Again. Die partiellen Ableitungen in der ersten Komponente und in der dritten Komponente sind ja Null, da sind wir zum gleichen Ergebnis gekommen. Unstimmigkeiten sind in der zweiten Komponente und die sind immer noch da unglücklich

Wenn wir doch die partielle Ableitung bilden von: $\begin{eqnarray*} \frac{\partial E_{x}}{\partial z} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{\partial E_{z}}{\partial x} \end{eqnarray*}$ dann leiten wir doch mit Faktorregel und Potenzregel wie folgt ab:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial E_{x}}{\partial z} \left( \frac{8x}{(1+4 x^2 + 2 z^2)^2}\right) = 8x \cdot (-2) \cdot 4z \cdot (1+4 x^2 + 2 z^2)^{-3} = \frac{-64 xz}{(1+4 x^2 + 2 z^2)^3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial E_{z}}{\partial x} \left( \frac{4z}{(1+4 x^2 + 2 z^2)^2}\right) = 4z \cdot (-2) \cdot 8x \cdot (1+4 x^2 + 2 z^2)^{-3} = \frac{-64 xz}{(1+4 x^2 + 2 z^2)^3} \end{eqnarray*}$
Und ich komme wieder zum gleichen Ergebnis und erkenne nicht wo der Fehler ist traurig

Ich dachte anfangs, dass man die Quotientenregel anwenden muss, aber der Zähler ist ja in beiden Ableitungen als konstant anzusehen.

Zitat:

Original von Huggy
Du schreibst dauernd $\begin{eqnarray*} \vec \nabla \varphi = \vec \nabla \vec E \end{eqnarray*}$
Davon ist aber nicht die Rede.

Hm, okay wenn davon nicht die Rede ist, könnte ich bitte Gott

einen Hinweis bekommen wie ich das verstehen soll? Aber der Nablaoperator ist mit dem Gradienten gleichzusetzen, es ist ja die gleiche mathematische Ausführung der Ableitungen?

Danke Huggy und grüße,

Anamaria

20.04.2017, 13:16

Huggy

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Zunächst mal muss ich mich gewaltig entschuldigen. Du hast Recht. Die Rotation von $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ ergibt den Nullvektor. Da muss ich das Vektorfeld falsch abgeschrieben haben. Keine Ahnung wo, da ich meinen Zettel von damals nicht mehr habe. Das tut mir gewaltig Leid.

Da die Rotation von $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ Null ist, gibt es ein Skalarfeld mit

$\begin{eqnarray*} -\vec \nabla \varphi (x,y,z)=\vec E \end{eqnarray*}$

Dieses Skalarfeld muss also die Form

$\begin{eqnarray*} -\varphi (x,y,z)=\int E_x dx+c_1(y,z)=\int E_y dy+c_2(x,z)=\int E_z dz+c_3(x,y) \end{eqnarray*}$

haben. Das wird erfüllt durch

$\begin{eqnarray*} \varphi (x,y,z)=\frac{1}{1 + 4 x^2 + 2 z^2}+c_0 \end{eqnarray*}$

21.04.2017, 12:05

8A-Maria9

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit

Zitat:

Original von Huggy
Zunächst mal muss ich mich gewaltig entschuldigen.

Nein, nein bitte keine Gewalt Augenzwinkern

Schon okay, alles gut smile

Zitat:

Original von Huggy
Da die Rotation von $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ Null ist, gibt es ein Skalarfeld mit

$\begin{eqnarray*} -\vec \nabla \varphi (x,y,z)=\vec E \end{eqnarray*}$

Dieses Skalarfeld muss also die Form

$\begin{eqnarray*} -\varphi (x,y,z)=\int E_x dx+c_1(y,z)=\int E_y dy+c_2(x,z)=\int E_z dz+c_3(x,y) \end{eqnarray*}$

haben.

Also laut Aufgabenstellung muss ich ja nur noch die stetigen-differenzierbaren Skalarfelder $\begin{eqnarray*} \varphi : G \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \vec{E} =- \vec \nabla \varphi \end{eqnarray*}$ berechnen. Das ist dann im letzten Zitat inbegriffen? Denn ich habe es nachgerechnet und es entspricht tatsächlich dem Ergebnis: $\begin{eqnarray*} \varphi (x,y,z)=\frac{1}{1 + 4 x^2 + 2 z^2}+c_0 \end{eqnarray*}$ schon bemerkenswert.

Somit wären alle Punkte der Aufgabe erledigt, oder fehlt noch etwas an Formalität?

Ich danke für's Gespräch und die Hilfe

Anamaria

21.04.2017, 12:22

Huggy

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit

Zitat:

Original von 8A-Maria9
Somit wären alle Punkte der Aufgabe erledigt, oder fehlt noch etwas an Formalität?

Das reine Nachrechnen beweist zwar, dass das angegebene Skalarfeld die geforderte Eigenschaft hat. Aber zu einer vollständigen Lösung gehört meiner Meinung nach schon anzugeben, wie man auf dieses Ergebnis gekommen ist. Alternativ zu meinen unbestimmten Integralen kann man auch Wegintegrale bilden. Deren Integration kann aber je nach Weg komplizierter sein.

21.04.2017, 12:44

8A-Maria9

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit

Zitat:

Original von Huggy
Aber zu einer vollständigen Lösung gehört meiner Meinung nach schon anzugeben, wie man auf dieses Ergebnis gekommen ist.

Okay und unter wie ist wohl eine Herleitung gemeint? Ich wüsste jetzt nicht wie ich das eventuell zeigen könnte?
Ich meine diese Gleichheit: $\begin{eqnarray*} -\vec \nabla \varphi (x,y,z)=\vec E \end{eqnarray*}$ gilt. Wenn man sich jedoch die berechtigte Frage stellt, wieso ist es so und wie man darauf kommt fehlt es mir dann doch an Verständnis.

Danke abermals,

Anamaria

21.04.2017, 13:42

Huggy

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Na, eine Herleitung habe ich dir schon gezeigt, nämlich über die 3 unbestimmten Integrale der Komponenten von $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ . Wenn gelten soll

$\begin{eqnarray*} -\vec \nabla \varphi =\vec E \end{eqnarray*}$

dann heißt das doch

$\begin{eqnarray*} -\frac {\partial \varphi}{\partial x} =E_x \end{eqnarray*}$

und entsprechend für die partiellen Ableitungen nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Das bedeutet umgekehrt

$\begin{eqnarray*} -\varphi= \int E_xdx \end{eqnarray*}$

und analog für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Das unbestimmte Integral ist nur bis auf eine Konstante bestimmt, die hier noch von den Variablen abhängen kann, über die man jeweils nicht integriert hat. Jetzt bastelt man die 3 unbestimmten Integrale einfach zusammen, was im konkreten Fall ganz simpel ist.

Wenn ein Skalarfeld $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ mit der geforderten Eigenschaft existiert, dann ist das Wegintegral über $\begin{eqnarray*} \vec E \end{eqnarray*}$ nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges abhängig, aber nicht vom Verlauf des Weges dazwischen und es gilt dann:

$\begin{eqnarray*} -\varphi (\vec r)=\int\limits_{\vec r_0}^{\vec r}\vec E(\vec r)\cdot d \vec r \end{eqnarray*}$

Das ist ein alternativer Weg.

Das Minuszeichen ist mathematisch irrelevant. Es kommt aus der Physik, damit der Energiesatz in seiner üblichen Form gilt.

22.04.2017, 05:21

8A-Maria9

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Guten Morgen Huggy,

ich denke, dass ich das jetzt soweit alles im Groben verinnerlicht habe. Was ich jetzt aber nicht ganz weiß ist, wie ich von dem erlangten Wissen noch etwas bezogen auf die Aufgabenstellung anwenden kann, da eigentlich alles beantwortet ist und konkret nach der Unabhängigkeit des Weges von konservativen Kraft- bzw. Vektorfeldern, die lediglich vom Anfangs- und Endpunkt abhängen und nicht explizit vom Weg, gefragt ist.

Danke erneut,

Zahlreiche Grüße

Anamaria

22.04.2017, 06:30

Huggy

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit
Bezüglich der anfangs von dir geposteten Aufgabenstellung ist alles beantwortet.

22.04.2017, 08:50

8A-Maria9

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RE: Vektorfeld, Skalarfeld, Wirbelfreiheit

Zitat:

Original von Huggy
Bezüglich der anfangs von dir geposteten Aufgabenstellung ist alles beantwortet.

Gut, dann sollte es abgehakt sein.

Ich habe jetzt noch eine Aufgabe zu Übungszwecken gerechnet mit der gleichen Aufgabenstellung.

Diesmal ist jedoch:
$\begin{eqnarray*} \vec{E} := \cos (x y z) \begin{pmatrix} y z\\ x z \\ x y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Also auch bei diesem Vektorfeld erhalte ich Wirbelfreiheit, da die $\begin{eqnarray*} \text{ rot } \vec{E} = \vec{0} \end{eqnarray*}$

Und die Gleichheit des Skalarfeldes der Form: $\begin{eqnarray*} -\varphi (x,y,z)=\int E_x dx+c_1(y,z)=\int E_y dy+c_2(x,z)=\int E_z dz+c_3(x,y) \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch:
$\begin{eqnarray*} \varphi (x,y,z) = -\sin (x y z) \end{eqnarray*}$

Somit danke ich nochmal herzlichst Huggy,

Grüße

Anamaria

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