Flächenträgheitsmoment durch zweifaches Integral lösen

15.04.2017, 16:10	Derek	Auf diesen Beitrag antworten »
Flächenträgheitsmoment durch zweifaches Integral lösen Meine Frage: Ich lerne gerade Elastostatik und muss hier ein Flächenintegral eines Dreiecks berechnen um damit auf das Flächenträgheitsmoment zu schließen. Ich komme dabei aber konsequent auf ein anderes Ergebnis, als in der Lösung gegeben. $\begin{eqnarray} I_z = \int_{0}^{\sqrt{3}a } \! \int_{-a+z/\sqrt{3} }^{a-z/\sqrt{3} } \! y^2 \, dy \, dz \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} I_z = \frac{1}{3} \int_{0}^{\sqrt{3}a } \! [(a-\frac{z}{\sqrt{3}})^3 - (-a+\frac{z}{\sqrt{3} } )^3] \, dz \end{eqnarray}$ Soweit so gut, allerdings komme ich nun, egal ob ich erst die binomischen Formeln löse und anschließen integriere, oder erst integriere und anschließend weiterrechne auf $\begin{eqnarray} I_z = \frac{a^4}{\sqrt{3} } \end{eqnarray}$ Laut Lösung ist aber folgendes Korrekt $\begin{eqnarray} I_z = \frac{a^4\sqrt{3} }{6} \end{eqnarray*}$
15.04.2017, 16:49	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Am besten klammerst du im ersten Summanden des Integranden $\begin{align} -1 \end{align}$ aus: $\begin{align} \left( a - \frac{z}{\sqrt{3}} \right)^3 = \left( (-1) \cdot \left( \frac{z}{\sqrt{3}} - a \right) \right)^3 = (-1)^3 \left( \frac{z}{\sqrt{3}} - a \right)^3 = - \left( \frac{z}{\sqrt{3}} - a \right)^3 \end{align}$ Jetzt hat dieser Summand dieselbe Form wie der andere Summand und kann mit diesem zusammengefaßt werden. Und dann brauchst du nicht einmal mehr auszumultiplizieren. Du kommst mit einer linearen Substitution ans Ziel.
16.04.2017, 11:58	Shedao-Shai	Auf diesen Beitrag antworten »
Namenänderung durch Anmeldung im Forum. Sorry für die eventuelle Verwirrung Danke für den Tipp. Allerdings sieht mein Rechenweg nun folgendermaßen aus: $\begin{eqnarray} I_z = -\frac{2}{\sqrt{3} } \int_{0}^{\sqrt{3}a } \!(\frac{z}{\sqrt{3} } - a^4) \, dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_z = -\frac{2}{\sqrt{3} } \left[ [(\frac{z}{\sqrt{3} } - a)^4]\right]_{0}^{\sqrt{3}a } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_z = -\frac{2}{\sqrt{3} } (a^4-4a^4+6a^4-4a^4+a^4) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} I_z = -\frac{2}{\sqrt{3} } 0 \end{eqnarray}$ irgendwas stimmt da scheinbar noch nicht. Sollte ich erst substituieren, anschließend integrieren und dann ausrechnen? Ich habe auch erst ausgerechnet, dann integriert und damit weitergerechnet. Da kam leider auch nicht das richtige bei raus. $\begin{eqnarray} I_z = \frac{3a^4}{2} - \frac{5a^2}{6\sqrt{3} } \end{eqnarray*}$
16.04.2017, 14:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Zeile ist Unfug. Ich weiß nicht, was du da gemacht hast. In der zweiten Zeile versuchst du offenbar, das Integral mittels einer Stammfunktion zu berechnen. Es müßte heißen: $\begin{align} I_z = - \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{4} \left. \left( \frac{z}{\sqrt{3}} - a \right)^4 \right\|_{\ 0}^{\sqrt{3} a} \end{align}$ Jetzt muß man eigentlich nur noch einsetzen. Ausmultiplieren ist völlig unangebracht. Warum sich die Arbeit erschweren? An der oberen Grenze kommt übrigens 0 heraus. "Ausgerechnet" ist Schülersprache - ein nichtssagender Begriff, gern verwendet, wenn man nicht weiß, was die Fachsprache für die Umformung vorsieht. Deswegen verstehe ich auch nicht, was du damit sagen willst.
16.04.2017, 14:17	Shedao-Shai	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe die Aufgabe nochmal gerechnet und dabei ist mir dann auch dieser Fehler aufgefallen. Damit komme ich auch auf das richtige Ergebnis. Mein Problem war, dass die Musterlösung ein mit $\begin{eqnarray} \sqrt{3} \end{eqnarray}$ erweiterter Quotient war. Vielen Dank für die Hilfe!

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