Vektorwertige Differenz

15.04.2017, 16:44

Berni91

Vektorwertige Differenz

Hallo, es sei eine $\begin{eqnarray*} k \times k \end{eqnarray*}$ - Matrix und B eine $\begin{eqnarray*} f \times k \end{eqnarray*}$ Matrix (f<k).

$\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ sei ein Vektor mit $\begin{eqnarray*} \frac{k^2 -k}{2} \end{eqnarray*}$ Einträgen und $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ sei ein Vektor mit
$\begin{eqnarray*} kf - \frac{f(f-1)}{2} \end{eqnarray*}$ Einträgen.

Betrachten wir

$\begin{eqnarray*} (v -Yu)^{T}(v-Yu) \end{eqnarray*}$

so kann das doch nur Sinn machen, wenn Y gleich viele Spalten wie u Einträge hat und gleich viele Zeilen wie v Einträge hat ... angeblich, soll man aber Y aus B bekommen können.... ist das möglich ??

LG

15.04.2017, 20:17

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RE: Vektorwertige Differenz
Deine Überlegung zu Zeilen und Spalten von Y ist richtig. Was soll es denn bedeuten, dass man

Zitat:

Y aus B bekommen

kann?
Und was hat es mit der $\begin{eqnarray*} k\times k \end{eqnarray*}$ Matrix auf sich?

16.04.2017, 07:11

Berni91

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Hallo,

$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ soll die vektorisierte Form von B sein... aber wie krieg ich das denn hin ? Ich muss also irgendwie den Bereich $\begin{eqnarray*} 1 \le i < j \le k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1 , \frac{k(k-1)}{2} ] \end{eqnarray*}$ abbilden ( nennen wir die Abbildung x(i,j))und den Bereich $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1 \le r \le f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r \le i \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1, kf - \frac{f(f-1)}{2} ] \end{eqnarray*}$ (nennen wir die Abbildung y(i,r))

dann ist für $\begin{eqnarray*} 1 \le i < j \le k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \le min(i,f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{x(i,j),y(i,r)} = B_{jr} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A_{x(i,j),y(j,r)} = B_{ir} \end{eqnarray*}$

ich glaube $\begin{eqnarray*} x(i,j) = \frac{(j-2)(j-1)}{2}+i \end{eqnarray*}$ passt, aber finde derweil nix für b(i,r) ...

Habt ihr da eine Idee -- ist meine Idee generell ok?

LG

16.04.2017, 08:50

Ulrich Ruhnau

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Nach der ursprünglichen Form der Aufgabenstellung sind weder Y noch B gegeben. Momentan ist das Rätselraten darüber, was die Aufgabe ist, noch nicht abgeschlossen. Über die Lösung reden wir später.

16.04.2017, 08:54

Berni91

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Die Matrix B ist bekannt.
Die Matrix Y soll die vektorisierte Form sein. Der Vektor z ist bekannt. Der Vektor d ist unbekanntnunbekannt. Y entspricht in meinem vorigen Post A.

Lg

16.04.2017, 15:42

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Habe ich die Vektoren z und d bisher übersehen oder sind die neu?
Wenn ich das recht verstehe, müssten doch B und Y gleich viele Elemente haben, also
$\begin{eqnarray*} fk=\frac{k^2-k}{2}\left(kf-\frac{f(f-1)}{2}\right) \end{eqnarray*}$ . Mit der Nebenbedingung f<k finde ich nur die Lösung k=2, f=1.
Ist das Sinn der Aufgabe?

16.04.2017, 15:50

Berni91

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Hallo,

Verzeihung für die Doppelbenennungen -- also :

B ist eine Matrix mit $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -Spalten und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ Zeilen, welche in Trapezform angesetzt wird - beispielsweise $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} b1 & 0 \\ b2 & b3 \\ b4 & b5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
z ist ein Vektor der die Elemente oberhalb der Hauptdiagonale einer symmetrischen $\begin{eqnarray*} k \times k \end{eqnarray*}$ Matrix enthält - z hat also genau $\begin{eqnarray*} \frac{k^2 -k}{2} \end{eqnarray*}$ Elemente.
d ist ein Fehlervektor , der $\begin{eqnarray*} kf - \frac{f^2 -f}{2} \end{eqnarray*}$ Elemente enthält (also gleich viele Elemente wie B).

um

$\begin{eqnarray*} (z- Yd)^{T}(z-Yd) \end{eqnarray*}$ zu lösen, hat mir mein Prof vorgeschlagen Y als vektorisierte Form von B aufzufassen, wobei
zitiere meinen Beitrag vorher :

$\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ soll die vektorisierte Form von B sein... aber wie krieg ich das denn hin ? Ich muss also irgendwie den Bereich $\begin{eqnarray*} 1 \le i < j \le k \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1 , \frac{k(k-1)}{2} ] \end{eqnarray*}$ abbilden ( nennen wir die Abbildung x(i,j))und den Bereich $\begin{eqnarray*} 1 \le i \le k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 1 \le r \le f \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r \le i \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} [1, kf - \frac{f(f-1)}{2} ] \end{eqnarray*}$ (nennen wir die Abbildung y(i,r))

dann ist für $\begin{eqnarray*} 1 \le i < j \le k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r \le min(i,f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Y_{x(i,j),y(i,r)} = B_{jr} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Y_{x(i,j),y(j,r)} = B_{ir} \end{eqnarray*}$

ich glaube $\begin{eqnarray*} x(i,j) = \frac{(j-2)(j-1)}{2}+i \end{eqnarray*}$ passt, aber finde derweil nix für b(i,r) ...

nochmals entschuldigung für die Verwirrung.

17.04.2017, 15:55

Berni91

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Also ich habe so eine Abbildung b(i,r) gefunden.

EIne Frage die sich anschließt :

gibt es eine Möglichkeit

$\begin{eqnarray*} S = (v-Yu)^{T}(v-Yu) \end{eqnarray*}$

als eine SUmme von $\begin{eqnarray*} \frac{(k-f)^2 -(k+f)}{2} \end{eqnarray*}$ Summanden darzustellen ? wenn v : $\begin{eqnarray*} \frac{k^2 -k}{2} \end{eqnarray*}$ und u : $\begin{eqnarray*} kf - \frac{f^2 -f}{2} \end{eqnarray*}$ Komponenten hat?

Eventuell indem ich Y geschickt zerlege ? Singulärwertzerlegung etc ?

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