Differentialgleichung 2. Ordnung numerisch lösen

16.04.2017, 10:03

Der_Apfel

Differentialgleichung 2. Ordnung numerisch lösen

Schönen Ostersonntag-Morgen smile

ich soll die DGL:

$\begin{eqnarray*} \ddot x = 0 \end{eqnarray*}$

numerisch lösen (mit dem expliziten Euler-Verfahren). Auf Wikipedia steht nur beschrieben, wie man das für DGLs 1. Ordnung macht, wenn ich nun "analytisch" die DGL 2. Ordnung in eine DGL 1. Ordnung durch Integration mache:

$\begin{eqnarray*} \dot x = c_1 \end{eqnarray*}$

dann hab ich immer noch keine Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,t) \end{eqnarray*}$ ? Erst nach 2 maliger Integration bin ich bei: $\begin{eqnarray*} x(t) = c_1*t+c_2 \end{eqnarray*}$ Wie funktioniert das Lösen nun? Eigentlich bräuchte ich nun 2 Startwerte für $\begin{eqnarray*} c_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ und dann:

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = x_n + h*(c_1*t+c_2) \end{eqnarray*}$ ?

16.04.2017, 10:18

IfindU

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RE: Differentialgleichung 2. Ordnung numerisch lösen
Nach dem ersten Integrieren hast du doch $\begin{eqnarray*} f(x,t) = c_1 \end{eqnarray*}$ . Eine konstante Funktion ist dennoch eine Funktion.

16.04.2017, 10:30

Ulrich Ruhnau

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RE: Differentialgleichung 2. Ordnung numerisch lösen
Um eine DGL numerisch zu lösen, bracht man auch die Randbedingungen. Das wäre hier ein Anfangspunkt mit seiner Ableitung, oder Anfangspunkt und Endpunkt. Zur weiteren Vorgehensweise spaltet man die DGL zweiter Ordnung in zwei DGLs erster Ordnung auf.
Z.B.

$\begin{eqnarray*} y = \dot x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \dot y = 0 \end{eqnarray*}$ .

Immer wenn man mit der ersten DGL einen Schritt macht, geht man mit der zweiten DGL den selben Schritt.

16.04.2017, 10:46

Der_Apfel

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Zitat:

Nach dem ersten Integrieren hast du doch $\begin{eqnarray*} f(x,t) = c_1 \end{eqnarray*}$ . Eine konstante Funktion ist dennoch eine Funktion.

Stimmt, danke! Was ich noch nicht verstehe:

Eine DGL analytisch zu lösen, heißt doch, die Funktion finden (also hinschreiben können). Numerisch kann ich eine DGL doch nur mit eingesetzten Werten "lösen" (für alle Werte kann ich sie nicht lösen, nur immer für einen spezifischen)?

16.04.2017, 11:54

IfindU

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Analytisch finden heißt die Lösung für einen Anfangswert hinzuschreiben. Das kann man für einen Anfangswert oder unendlich viele machen.

Numerisch ist ein Algorithmus mit endlich vielen Schritten laufen lassen, und selten eine exakte Lösung bekommen. Üblicherweise kennt man eine ungefähre Lösung an einigen Stützstellen -- ungefähr, da sich durch die Methodik, das ggf. frühe Abrechnen und Rundungsfehler etc. Fehler einschleichen.

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