Mengentheoretische Ausdrücke bestimmen

16.04.2017, 10:28	TheLastofUs	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengentheoretische Ausdrücke bestimmen Meine Frage: Hallihallo, ich versuche gerade einige Aufgaben aus dem Internet zu lösen, um mich auf eine Klassenarbeit vorzubereiten und bin dabei auf folgende gestoßen: Seien A, B, C Ereignisse in einem Grundraum $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Beschreibe die folgenden Ereignisse durch geeignete mengentheoretische Ausdrücke in A, B und C: (a) Wenigstens eines der drei Ereignisse tritt ein. (b) Wenigstens zwei der drei Ereignisse treten ein. Meine Ideen: Ich habe mir hierzu bei (a) gedacht: $\begin{eqnarray} (A \cap B^{c} \cap C^c) \cup (A^c \cap B \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c \cap C) \cup (A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C) \cup (A^c \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C) \end{eqnarray}$ . Und zu (b): $\begin{eqnarray} (A \cap B \cap C^c) \cup (A \cap B^c \cap C) \cup (A^c \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C) \end{eqnarray}$ . Nun frage ich mich zum einen, ob ich das richtig so gelöst habe und ob es vielleicht noch einen Weg gibt, das Ganze kürzer zu schreiben? Das sieht ja schon ziemlich sperrig aus, inbesondere (a). Ich meine, mich erinnern zu können, dass wir (a) auch so schreiben könnten: $\begin{eqnarray} (B^c \cap C^c) \cup (A^c \cap C^c) \cup (A^c \cap B^c) \cup C^c \cup B^c \cup A^c \end{eqnarray}$ Und das dann letztendlich zusammenfassen könnten zu: $\begin{eqnarray} ((B \cup C) \cap (A \cup C) \cap (A \cup B) \cap C \cap B \cap A)^c \end{eqnarray}$ Kann das sein? Bzw. ist das richtig? Oder gäbe es noch einen kürzeren Weg? Und was mache ich mit (b)? Gehe ich da einfach genauso vor wie bei (a)? Würde mich über jegliche Hilfe freuen!
16.04.2017, 10:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mengetheoretische Ausdrücke bestimmen Für mich sieht die Aufgabe nicht wohlgestellt aus. Für mich wäre "mindestens ein Ereignis tritt ein" die Menge $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ zu suchen, die jedes Element in $\begin{eqnarray} A,B.C \end{eqnarray}$ beinhaltet. Dann wäre $\begin{eqnarray} \mathbb P(D) = \text{ "Wahrscheinlichkeit" dass ein Element von $A,B,C$ "gewaehlt" wurde} \end{eqnarray}$ . In dem Sinne, dass wenn $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ Kugeln Elemente der Form Äpfel, Banananen, Clementinen und Erdbeeren beinhaltet, und man sich zufällig etwas zu essen rausholt, ein Apfel, Bananene oder Clementine ist über die Menge $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ zu bestimmen ist. Aber wer weiß was sich der Aufgabensteller dabei gedacht hat.
16.04.2017, 11:11	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
@ IfindU @ TheLastofUs "Wenigstens ein Ereignis tritt ein" ist doch einfach $\begin{align} A \cup B \cup C \end{align}$ . Und auch (b) geht ähnlich: Vereinigung von Zweierschnitten. Dein Ansatz bei (a) läuft nach Vereinfachen genau auf die Vereinigung der drei Mengen hinaus, sehr gut sichtbar an einem Venn-Diagramm mit den sieben Bereichen von $\begin{align} A \cup B \cup C \end{align}$ .
16.04.2017, 11:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mengetheoretische Ausdrücke bestimmen @Leopold: Mir war unklar welche Beziehung zwischen "ist Element einer Menge" und "tritt ein" besteht.
16.04.2017, 20:56	TheLastofUs	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, das stimmt! Manchmal sieht man wohl den Wald vor Bäumen nicht mehr. Das heißt, ich würde (b) einfach darstellen als $\begin{eqnarray} (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup (B \cap C) \cup (A \cap B \cap C) \end{eqnarray}$ ?
17.04.2017, 09:34	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch hier brauchst du das letzte Glied nicht. Es ist ja schon in jedem der drei vorigen als Teilmenge enthalten.
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