Grenzwert Reihe: ? k*(2/3)^k = 6.

16.04.2017, 13:41	Croissant	Auf diesen Beitrag antworten »
*Grenzwert Reihe: ? k(2/3)^k = 6. Meine Frage:** Ich will die Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray} \sum k(2/3)^k \end{eqnarray}$ untersuchen. Meine Ideen: Ich kann mit dem Quotientenkriterium zeigen, dass die Reihe konvergiert und vermute (durch Einsetzen von großen Zahlen), dass der Grenzwert 6 ist, weiß aber nicht, wie ich das zeigen soll.
16.04.2017, 15:20	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Grenzwert Reihe: ? k(2/3)^k = 6.** Schau mal hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe
16.04.2017, 22:06	Croissant	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, danke für den Tipp Also für die geometrische Reihe (abs(x) < 1) gilt $\begin{eqnarray} \sum_{k = 0}^\infty x^k = \frac{1}{1-x} \end{eqnarray}$ Dann ableiten: $\begin{eqnarray} \sum_{k = 0}^\infty k x^{k - 1} = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray}$ Umformen: $\begin{eqnarray} \sum_{k = 0}^\infty k x^k = \frac{x}{(1-x)^2} \end{eqnarray}$ Und 2/3 einsetzen: $\begin{eqnarray} \sum_{k = 0}^\infty k (2/3)^k = \frac{2/3}{1/9} = 6 \end{eqnarray}$

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »